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| Aufgabe | R ist ein kommutativer Ring mit [mm] 1_{R}(additive [/mm] Grupppe von R als [mm] \IZ-Modul)
[/mm]
Sei folgende Abbildung gegeben:
[mm] \delta:\begin{cases} \IZ \to R , \\ n \mapsto n*1_{R}= \begin{cases} 1_{R}+...+1_{R} , n\ge 0\\ 1_{R}+...+1_{R}, n <0, \end{cases} \end{cases}
[/mm]
[mm] a)\delta [/mm] ist ein [mm] \IZ-Modulhomomorphismus
[/mm]
b) Der Kern von [mm] \delta [/mm] were erzeugt von [mm] m\in\IN. [/mm] Es gilt: char(R)=m. Beweise:
[mm] i)char(R)=0\gdw [/mm] die Abbildung ist injektiv
ii)Ist R nullteilerfremd und char(R)>0, dann ist char(R) eine Primzahl. |
hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin für jeden Ansatz dankbar, da ich die Aufgabe überhaupt nicht lösen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Espe |
Zuerst : In deiner Definition von [mm] \delta [/mm] fehlt ein Vorzeichen : für n < 0 müsste es -( [mm] 1_R [/mm] + ... + [mm] 1_R) [/mm] lauten.
a) ist mehr oder weniger nachrechnen der Eigenschaften eines Modulhomomorphismus, ich denke das sollte klappen (Wenn nicht frag nochmal nach, aber wenn du dir besagte Eigenschaften nochmal anschaust, sollte das hinhauen denk ich).
bzu b), was ja nun glaub ich wirklich den "schweren" Teil ausmacht.
Die erste Frage die man sich ja immer stellt bei so ner Aufgabe ist : Was heißt das überhaupt, was da so steht ?
Die Charakteristik gibt dir an, wie oft du [mm] 1_R [/mm] aufaddieren musst, damit Null herauskommt. In [mm] \IZ_{m} [/mm] ist die Charakteristik z.b. m (Klar warum ?)
Was ist nun [mm] \ker{\delta} [/mm] ? Und wie ist der Zusammenhang zwischen Injektivität und dem Kern einer Abbildung ?
ii) ist n kleines bissl "schwerer", aber da würd ich mir einfach mal angucken was passiert wenn Char(R) = n , n keine Primzahl ist.
Also mir [mm] n = p_1^{l_1}\hdots p_k^{l_k} [/mm] anschauen (Primfaktorzerlegung). Was passiert beim KgV der [mm] l_1 [/mm] bis [mm] l_k [/mm] ?
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also zu a)
Ein Modulhomomorphismus , wenn gilt:
[mm] \delta [/mm] ist ein Gruppenhomomophismus und [mm] \delta(r*n)=r*\delta(n).
[/mm]
Gruppenhomormphismus gilt doch wenn für x,y element Z gilt:
[mm] \delta(x+y)=\delta(x)+\delta(y)
[/mm]
also:
[mm] \delta(x+y)=1_{R}+....+1_{R} [/mm] (x+y-mal) = [mm] (1_{R}+....+1_{R})(x-mal) [/mm] + [mm] (1_{R}+....+1_{R})(y-mal)
[/mm]
(und [mm] daher:\delta(x)+\delta(y).
[/mm]
und außerdem gilt:
[mm] \delta(r*n)=1_{R}+....+1_{R} [/mm] (r*n-mal) = [mm] r*(1_{R}+....+1_{R})=r*\delta(n)
[/mm]
somit ist [mm] \delta [/mm] ein Modulhomomorphismus.
Stimmt die Beweisführung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Di 15.06.2010 | | Autor: | Espe |
Sollte soweit stimmen, jau. Kleiner Hinweis für dich :
Du hast das Element "r" genannt. Beachte dabei bitte dass es um ein Element aus [mm] \IZ [/mm] handelt, und dass du r * [mm] (1_R [/mm] + ... + [mm] 1_R) [/mm] nach obiger Definition rechnest. Vielleicht könnte man das durch nen Zwischenschritt noch was klarer machen (ich weiß nich wie pingelig die Leute bei euch sind).
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