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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 So 20.01.2008 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Es seien V,W zwei [mm] \IK- [/mm] Vektorräume und [mm] f:V\to [/mm] V , [mm] g:W\to [/mm] W und [mm] h:V\toW [/mm] linear derart, dass folgendes Diagramm kommutiert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Zeigen Sie :Ist h injektiv, so ist jeder Eigenwert von f auch Eigenwert von g.
b) Finden Sie ein konkretes Beispiel, das belegt, dass die Vorraussetzung "injektiv" nicht entbehrlich ist.
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Guten Tag zusammen,
irgendwie verstehe ich nicht so ganz wie ich dies hier zeigen soll.
Habe schon im Script rumgeblättert, komme aber irgendwie nicht weiter.
Wäre sehr dankbar für einen kleinen Anstoß
MFG Dave
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 So 20.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Es seien V,W zwei [mm]\IK-[/mm] Vektorräume und [mm]f:V\to[/mm] V , [mm]g:W\to[/mm] W
> und [mm]h:V\to W[/mm] linear derart, dass folgendes Diagramm
> kommutiert:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a) Zeigen Sie :Ist h injektiv, so ist jeder Eigenwert von f
> auch Eigenwert von g.
>
> b) Finden Sie ein konkretes Beispiel, das belegt, dass die
> Vorraussetzung "injektiv" nicht entbehrlich ist.
> irgendwie verstehe ich nicht so ganz wie ich dies hier
> zeigen soll.
> Habe schon im Script rumgeblättert, komme aber irgendwie
> nicht weiter.
du sollst zeigen, dass jeder eigenwert von $f$ auch einer von $g$ ist, sofern $h$ injektiv ist. also beginne mit einem eigenwert [mm] $\lambda \in \mathbb{K}$ [/mm] von $f$. nach definition heißt das, dass es ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not= [/mm] 0$ gibt, so dass $f(v) = [mm] \lambda [/mm] v$. nun musst du dir überlgen, wie du ein $w [mm] \in [/mm] W$ mit $w [mm] \not= [/mm] 0$ findest, so dass $g(w) = [mm] \lambda [/mm] w$ ist. das geht ziemlich direkt, wenn du dir aufschreibst, was es heißt, dass das gegeben diagramm kommutiert. überlege dir dann noch, wo eingeht, dass $h$ injektiv ist.
wenn du den beweis verstanden hast, sollte es nicht allzu schwer sein, eingegenbeispiel in teil b) zu finden.
schreibe doch mal auf, wie weit du gekommen bist, dann hilft dir bestimmt jemand weiter.
grüße
andreas
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