Kommutativgesetz Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 05.03.2020 | | Autor: | makke306 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Kommutativgesetz der Multiplikation für 2x2 Matrizen nicht erfüllt ist. Benutzen Sie Matrizen in allgemeiner Form: [mm] \begin{Bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{Bmatrix} [/mm] |
Hey wie kann ich beweißen dass das Kommutativgesetz bei Matrizen nicht gilt? Brauch ich da einfach die oben genannte Matrize ausmultiplizieren?.
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Du weißt, wie das Produkt von Matrizen definiert ist.
Du weißt, was das Kommutativgesetz ist.
Laut Hinweis sollst du das Ganze nun am Beispiel der allg. 2x2-Matrix [mm] $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ [/mm] darstellen.
Jetzt musst du nur noch loslegen. Alles was du dafür brauchst, hab ich dir genannt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 05.03.2020 | | Autor: | hase-hh |
Ich vermute mal, dass du beweisen sollst, dass das Kommutativgesetz für Matrizen nicht erfüllt ist...
Das Kommutativgesetz für 2x2 Matrizen gilt nur dann, wenn für alle A, B gilt:
A*B = C und B*A = C
Ein Gegenbeipsiel dürfte so eine Aussage widerlegen, wie:
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0& 3 } [/mm] B = [mm] \pmat{ -2 & 4 \\ 3 & 1 }
[/mm]
A*B = [mm] \pmat{ -2 & 4 \\ 3 & 1 }*\pmat{ 1 & 2 \\ 0& 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 8 \\ 3 & 9 }
[/mm]
B*A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0& 3 }*\pmat{ -2 & 4 \\ 3 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 6 \\ 9 & 3 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Fr 06.03.2020 | | Autor: | chrisno |
> Zeigen Sie, dass das Kommutativgesetz der Multiplikation
> für 2x2 Matrizen nicht erfüllt ist. Benutzen Sie Matrizen
> in allgemeiner Form: [mm]\begin{Bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{Bmatrix}[/mm]
>
> Hey wie kann ich beweißen dass das Kommutativgesetz bei
> Matrizen nicht gilt? Brauch ich da einfach die oben
> genannte Matrize ausmultiplizieren?.
>
Was verstehst du unter "eine Matrix ausmultiplizieren"?
Mach das, was HJK .. geschrieben hat, aber eben nicht mit konkreten Zahlen, sondern, so wie ich die Aufgabe verstehe, mit zwei allgemeinen Matritzen.
[mm]\pmat{
a & b \\
c & d}
\pmat{
e & f \\
g & h } = \ldots [/mm]
[mm]\pmat{
e & f \\
g & h }
\pmat{ a & b \\
c & d } = \ldots [/mm]
Vergleiche dann beide Ergebnisse und erkläre, warum sie nur unter ganz bestimmten Bedingungen gleich sind, also im Allgemeinen nicht gleich sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Fr 06.03.2020 | | Autor: | makke306 |
Erstmals vielen Dank für die Antworten.
Also wenn ich dann die Matrizen multipliziere erhalte ich:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d} \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh}
[/mm]
Und wenn ich die Matrizen vertausche erhalte ich:
[mm] \pmat{ e & f \\ g & h } \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd}
[/mm]
Da das Ergebnis nicht gleich ist kann man sagen dass hier das Kommutativgesetz nicht gültig ist. Stimmt dies? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Fr 06.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Erstmals vielen Dank für die Antworten.
>
> Also wenn ich dann die Matrizen multipliziere erhalte ich:
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d} \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm] = [mm]\pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh}[/mm]
>
> Und wenn ich die Matrizen vertausche erhalte ich:
> [mm]\pmat{ e & f \\ g & h } \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd}[/mm]
>
> Da das Ergebnis nicht gleich ist kann man sagen dass hier
> das Kommutativgesetz nicht gültig ist. Stimmt dies? :)
Ja, Du brauchst doch nur die jeweils ersten Einträge in den beiden Produkten ansehen:
ist $bg [mm] \ne [/mm] fc$, so ist nix mit Vertauschbarkeit.
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