Kommutativität einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | Es sei (G, °) eine Gruppe und e das neutrale Element von G. Zeigen Sie:
a) gilt [mm] (g°h)^2 [/mm] = [mm] g^2 [/mm] ° [mm] h^2 [/mm] für alle g,h [mm] \in [/mm] G, dann ist G kommutativ.
b) Ist die Anzahl der Elemente von G endlich und gerade, dann extistiert ein von e verschiedenes Element [mm] g\in [/mm] G mit [mm] g^2=e [/mm] |
hallo liebe leute.
ich habe bei a schon die vermutung,
ist [mm] (g°h)^2 [/mm] = (g°h)°(g°h) ? wie kann ich da jetzt noch z.B ein e mit rein verknüpfen?
zu b).. das versteh ich leider weniger gut. suche ich in G also ein Element, dass zu sich selbst invers ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei (G, °) eine Gruppe und e das neutrale Element von
> G. Zeigen Sie:
>
> a) gilt [mm](g°h)^2[/mm] = [mm]g^2[/mm] ° [mm]h^2[/mm] für alle g,h [mm]\in[/mm] G, dann ist
> G kommutativ.
seien $g,h [mm] \in G\,.$ [/mm] Dann ist zu zeigen
$$g [mm] \circ [/mm] h=h [mm] \circ g\,.$$
[/mm]
Klar ist doch nach Voraussetzung $(g [mm] \circ h)^2=e\,.$
[/mm]
Die Antwort ist Unsinn, da ich gedanklich die Aufgabenstellung verändert
habe, wie man HIER sieht!
Daraus folgt
$$(g [mm] \circ h)^{-1}=g \circ h\,.$$
[/mm]
Nun berechne $(h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\,.$
[/mm]
Schließe dann aus $(g [mm] \circ h)^{-1}=h \circ [/mm] g$ und der Eindeutigkeit des inversen
Elementes die Behauptung!
> ich habe bei a schon die vermutung,
> ist [mm](g°h)^2[/mm] = (g°h)°(g°h) ? wie kann ich da jetzt noch
> z.B ein e mit rein verknüpfen?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
was hälst du von (h°g) ° (g°h) ° (h°g) = h ° (g°g) ° (h°h) ° g = h° [mm] g^2 [/mm] ° [mm] h^2 [/mm] ° h = h° [mm] (g°h)^2 [/mm] ° g= h°e°g = h°g ???
weil aus (h°g)°(g°h) bekomm ich nichts gescheites raus! :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was hälst du von (h°g) ° (g°h) ° (h°g) = h ° (g°g)
> ° (h°h) ° g = h° [mm]g^2[/mm] ° [mm]h^2[/mm] ° h = h° [mm](g°h)^2[/mm] ° g=
> h°e°g = h°g ???
>
> weil aus (h°g)°(g°h) bekomm ich nichts gescheites raus!
> :/
warum rechnest Du nicht einfach so wie oben, wo Du eigentlich nur mehr
und komplizierteres rechnest (warum auch immer)?
$$(h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ \underbrace{(g \circ h)}_{=k \in G}=h \circ [/mm] (g [mm] \circ \underbrace{(g \circ h)}_{=k \in G})=h \circ [/mm] ((g [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h)=...$$
(Ich habe nur zwei Mal das Ass.-Gesetz angewendet!)
Das bekommst Du noch zu Ende gerechnet, oder?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
zu deiner anmerkung.. also ich habs so probiert.. aber über h ° [mm] g^2 [/mm] ° h kommts bei mir nicht mehr! xD oder darf ich [mm] g^2 [/mm] =e annehmen?
ist mein ansatz denn falsch, so kann ich es also nicht machen, ja?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> zu deiner anmerkung.. also ich habs so probiert.. aber
> über h ° [mm]g^2[/mm] ° h kommts bei mir nicht mehr! xD oder darf
> ich [mm]g^2[/mm] =e annehmen?
ne sorry, mein Fehler. Ich war gedanklich bei einer anderen Aufgabe, bzw.
wollte irgendwie [mm] $g^2=e$ [/mm] ins Spiel bringen, was aber bei b) steht.
Jetzt machen wir's nochmal richtig:
Wir wissen $(g [mm] \circ h)^2=g^2 \circ h^2$ [/mm] für alle $g,h [mm] \in G\,.$
[/mm]
Dies liefert
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;(g \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)=(g [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ h)\,.$$
[/mm]
Berechne nun
[mm] $$g^{-1} \circ \Big((g \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}\,,$$
[/mm]
was dann wegen [mm] $(\*)$ [/mm] gerade
[mm] $$=g^{-1}\circ \Big((g \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}=...=g \circ [/mm] h$$
sein muss!
Was Du da gerechnet hast, weiß ich nicht so auswendig...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
ja ok... den rechenweg bekomm ich hin.. muss ich aber nicht zeigen, dass das ergebnis h ° g ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja ok... den rechenweg bekomm ich hin.. muss ich aber nicht
> zeigen, dass das ergebnis h ° g ist?
??
Du willst doch zeigen: Sind $g,h [mm] \in [/mm] G$ beliebig, so ist $g [mm] \circ [/mm] h=h [mm] \circ g\,.$
[/mm]
Wenn Du so rechnest, wie ich, dann zeigt Du halt
$$h [mm] \circ [/mm] g= g [mm] \circ h\,.$$
[/mm]
Wollen wir nun über die Symmetrie des Gleichheitszeichens diskutieren??
Wenn Du unbedingt willst:
Wir wissen $ (g [mm] \circ h)^2=g^2 \circ h^2 [/mm] $ für alle $ g,h [mm] \in G\,. [/mm] $
Dies liefert
$ [mm] (\*)\;\;\;\;\;\;(g \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ [/mm] h)=(g [mm] \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\,. [/mm] $
Wegen $ [mm] (\*) [/mm] $ ist aber
[mm] $g^{-1}\circ \Big((g \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}=...=g \circ [/mm] h $
dann das gleiche wie
$ [mm] g^{-1} \circ \Big((g \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}\,, [/mm] $
was Du dann zu Ende rechnest.
Du kannst es auch so schreiben:
$$g [mm] \circ h=...=g^{-1}\circ \Big((g \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}\stackrel{(\*)}{=}g^{-1}\circ\Big((g \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\Big) \circ h^{-1}=...=h \circ g\,.$$
[/mm]
Dann hast Du tatsächlich auch $g [mm] \circ [/mm] h=h [mm] \circ [/mm] g$ da stehen anstatt diese
so verwirrende Gleichheit $h [mm] \circ [/mm] g=g [mm] \circ h\,$... [/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
ja ok.. ich war ganz verwirrt irgendwie.
vielen dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> ja ok.. ich war ganz verwirrt irgendwie.
macht nix, ich habe da ja meinen Beitrag zu geleistet (indem ich - in
Gedanken - die [mm] $(g\circ h)^2=g^2 \circ h^2$ [/mm] Voraussetzung zu [mm] $g^2=e$ [/mm] ummodelliert habe ^^
- das kommt davon, wenn man mehrere solche Aufgaben öfters mal
gerechnet hat ^^).
> vielen dank!
Gerne. Den Hinweis zum Crossposting nimmst Du aber bitte dennoch noch
ernst! (Wir verbieten hier kein Posting, wenn Du die Frage woanders schon
gepostet hast, sondern wir wollen nur den Link dann auch haben!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu deiner anmerkung.. also ich habs so probiert.. aber
> über h ° [mm]g^2[/mm] ° h kommts bei mir nicht mehr! xD oder darf
> ich [mm]g^2[/mm] =e annehmen?
>
> ist mein ansatz denn falsch, so kann ich es also nicht
> machen, ja?
> was hälst du von (h°g) ° (g°h) ° (h°g) = h ° (g°g) ° (h°h) ° g = h° $ [mm] g^2 [/mm]
> $ ° $ [mm] h^2 [/mm] $ ° h = h° $ [mm] (g°h)^2 [/mm] $ ° g= h°e°g = h°g ???
> weil aus (h°g)°(g°h) bekomm ich nichts gescheites raus! :/
ich seh nicht, was Du damit überhaupt willst?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> b) Ist die Anzahl der Elemente von G endlich und gerade,
> dann extistiert ein von e verschiedenes Element [mm]g\in[/mm] G mit
> [mm]g^2=e[/mm]
> hallo liebe leute.
>
> zu b).. das versteh ich leider weniger gut. suche ich in G
> also ein Element, dass zu sich selbst invers ist?
ja, Du suchst ein solches Element [mm] $\not=e\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
danke für die schnelle antwort.
bei b hab ich keine ahnung, wie ich das machen soll. ich kann nicht mal ein von e verschiedenes element, was zu sich selbstinvers ist, vorstellen! xD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für die schnelle antwort.
>
> bei b hab ich keine ahnung, wie ich das machen soll. ich
> kann nicht mal ein von e verschiedenes element, was zu sich
> selbstinvers ist, vorstellen! xD
kennst Du den Körper mit den zwei Elementen?
Und "vorstellen" ist so eine Sache, willst Du ein Beispiel? Ein geometrisches?
Aber mehr wie "beispielhaft vorstellen" kann das sicher auch keiner. Du
kannst aber mit dem abstrakten Zeugs arbeiten!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 So 05.05.2013 | | Autor: | sometree |
Ein anderer Lösungsansatz findet sich hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=520484&hilight=Gruppe
Aber den hat edding wohl schon gelesen und für nicht gut befunden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein anderer Lösungsansatz findet sich hier:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=520484&hilight=Gruppe
>
> Aber den hat edding wohl schon gelesen und für nicht gut
> befunden.
fedding=edding.
@ edding:
Ich darf Dich dran erinnern, dass solche Hinweise
DEINE PFLICHT
hier sind!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
