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| Aufgabe | | Y [mm] \subseteq [/mm] X kompakt <=> jede Überdekung [mm] U_\alpha [/mm] , [mm] \alpha \in [/mm] A von Y durch offene mengen VON X eine endliche Teilüberdeckung enthält. |
Hallo
Mein Versuch:
=>
Sei Y [mm] \subseteq [/mm] X kompakt <=> [mm] \forall [/mm] A bel Menge mit [mm] U_\alpha \in \tau_y \forall \alpha \in [/mm] A , [mm] \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha [/mm] = Y
=> [mm] \exists \alpha_1 [/mm] ,.., [mm] \alpha_n [/mm] sodass [mm] \bigcup_{j=1}^n U_\alpha [/mm] = Y
Ergänze [mm] U_\alpha [/mm] zu [mm] V_\alpha \in \tau_x
[/mm]
[mm] \bigcup_{j=1}^n U_\alpha \subseteq \bigcup_{j=1}^n V_\alpha \subseteq [/mm] Y
ok?
<=
Sei A beliebige Menge [mm] U_\alpha \in \tau_x [/mm] und [mm] \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \subseteq [/mm] Y und [mm] \exists \alpha_1 [/mm] ,.., [mm] \alpha_n [/mm] sodass [mm] \bigcup_{j=1}^n U_{\alpha_j}\subseteq [/mm] Y
Konstruiere [mm] V_{\alpha} [/mm] = [mm] U_{\alpha} \cap [/mm] Y für diese dann [mm] \bigcup_{j=1}^{n} V_{\alpha_j}\subseteq [/mm] Y
Ich weiß nicht sorecht wann ein Teilmengenzeichen und wann ein = hingehört ;(
LG,danke
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Hallo,
> Y [mm]\subseteq[/mm] X kompakt <=> jede Überdekung [mm]U_\alpha[/mm] ,
> [mm]\alpha \in[/mm] A von Y durch offene mengen VON X eine endliche
> Teilüberdeckung enthält.
Bevor wir über den Beweis sprechen, sollten wir noch kurz klären, was hier die Topologien sind...
Ich gehe davon aus, dass $X$ ein topologischer Raum (Topologie [mm] $\tau_x$) [/mm] ist und $Y [mm] \subset [/mm] X$ ein topologischer Raum ausgestattet mit der Teilraumtopologie [mm] $\tau_y [/mm] = Y [mm] \cap \tau_x [/mm] := [mm] \{Y \cap U: U \in \tau_x\}$.
[/mm]
Nun sollst du also zeigen: (1) [mm] \gdw [/mm] (2) mit
(1) $Y$ kompakt (als topologischer Raum)
(2) Für alle [mm] $(U_{\alpha})_{\alpha \in A} \subset \tau_{x}$ [/mm] mit $Y [mm] \subset \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}$ [/mm] gibt es [mm] $\alpha_1,...,\alpha_n \in [/mm] A$ sodass $Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_i}$.
[/mm]
> =>
>
> Sei Y [mm]\subseteq[/mm] X kompakt <=> [mm]\forall[/mm] A bel Menge mit
> [mm]U_\alpha \in \tau_y \forall \alpha \in[/mm] A , [mm]\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha[/mm]
> = Y
> => [mm]\exists \alpha_1[/mm] ,.., [mm]\alpha_n[/mm] sodass [mm]\bigcup_{j=1}^n U_\alpha[/mm]
> = Y
Ja.
> Ergänze [mm]U_\alpha[/mm] zu [mm]V_\alpha \in \tau_x[/mm]
> [mm]\bigcup_{j=1}^n U_\alpha \subseteq \bigcup_{j=1}^n V_\alpha \subseteq[/mm]
> Y
Das verstehe ich nicht. Ausgehend davon, dass du gerade (1) --> (2) zeigen willst, musst du doch von einer Überdeckung von $Y$ mit Elementen aus [mm] $\tau_x$ [/mm] ausgehen. Das tust du nicht.
Wie soll diese Ergänzen ablaufen?
> <=
> Sei A beliebige Menge [mm]U_\alpha \in \tau_x[/mm] und
> [mm]\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \subseteq[/mm] Y und [mm]\exists \alpha_1[/mm]
> ,.., [mm]\alpha_n[/mm] sodass [mm]\bigcup_{j=1}^n U_{\alpha_j}\subseteq[/mm]
> Y
> Konstruiere [mm]V_{\alpha}[/mm] = [mm]U_{\alpha} \cap[/mm] Y für diese dann
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} V_{\alpha_j}\subseteq[/mm] Y
Das sieht noch nicht so gut aus. Eventuell hast du die richtige Idee gehabt, aber wenn ich es lese, überzeugt es mich nicht. Ich habe auch den leisen Verdacht, dass du die Richtungen --> und <-- vertauscht hast.
Machen wir nochmal in Ruhe:
(1) --> (2):
Wir haben eine Überdeckung [mm] $(U_{\alpha})_{\alpha \in A} \subset \tau_x$ [/mm] vorgegeben mit $Y [mm] \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}$.
[/mm]
(Um die Kompaktheit von $Y$ nutzen zu können, brauchen wir Elemente von [mm] $\tau_y$. [/mm] Daher konstruieren wir:)
[mm] $V_\alpha [/mm] := [mm] U_{\alpha} \cap [/mm] Y [mm] \in \tau_y$ [/mm] (nach Def. der Teilraumtopologie).
Es gilt $Y = [mm] \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha}$.
[/mm]
Nun Kompaktheit von $Y$ --> Es existieren [mm] $\alpha_1,...,\alpha_n \in [/mm] A$ mit $Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}$.
[/mm]
Entsprechend gilt $Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_i}$. [/mm] Das war zu zeigen.
Nun die andere Richtung:
(2) --> (1):
Sei [mm] $(V_{\alpha})_{\alpha \in A} \subset \tau_y$ [/mm] mit $Y = [mm] \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha}$. [/mm] Zu zeigen ist: Es ex. [mm] $\alpha_1,...,\alpha_n \in [/mm] A$ mit $Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}$.
[/mm]
Nun bist du dran!
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo
danke für die Antwort.
Ich habe 1 Frage:
Wie kommst du auf:
> Es gilt $ Y = [mm] \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha} [/mm] $.
Wieso steht da plötzlich ein "="?
> Nun die andere Richtung:
> (2) --> (1):
> Sei $ [mm] (V_{\alpha})_{\alpha \in A} \subset \tau_y [/mm] $ mit $ Y = [mm] \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha} [/mm] $. Zu zeigen ist: Es ex. $ [mm] \alpha_1,...,\alpha_n \in [/mm] A $ mit $ Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i} [/mm] $.
[mm] V_\alpha [/mm] = [mm] U_\alpha \cap [/mm] Y, wobei [mm] U_\alpha \in \tau_x [/mm] nach definition der Teilraumtopologie.
[mm] \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha} \supseteq [/mm] Y
wegen Vorasetzung gilt: [mm] \bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i} \supseteq [/mm] Y
Ich bin mir nicht sicher ob das teilmengenzeichen so gehört..
=> Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}
[/mm]
wobei ich mir beim letzten schitt nicht 100% sicher bin, warum er folgt
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Hallo,
> Wie kommst du auf:
> > Es gilt [mm]Y = \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha} [/mm].
> Wieso steht da plötzlich ein "="?
Vorher galt $Y [mm] \subset \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}$.
[/mm]
Es gilt auf jeden Fall [mm] $V_{\alpha} [/mm] := [mm] U_{\alpha} \cap [/mm] Y [mm] \subset [/mm] Y$, daher [mm] $\bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha} \subset [/mm] Y$.
Andererseits ist weiterhin $Y [mm] \subset \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha}$, [/mm] weil das schneiden von [mm] $U_{\alpha}$ [/mm] mit $Y$ keine Elemente von $Y$ entfernt.
> > Nun die andere Richtung:
> > (2) --> (1):
>
> > Sei [mm](V_{\alpha})_{\alpha \in A} \subset \tau_y[/mm] mit [mm]Y = \bigcup_{\alpha \in A}V_{\alpha} [/mm].
> Zu zeigen ist: Es ex. [mm]\alpha_1,...,\alpha_n \in A[/mm] mit [mm]Y = \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i} [/mm].
> [mm]V_\alpha[/mm] = [mm]U_\alpha \cap[/mm] Y, wobei [mm]U_\alpha \in \tau_x[/mm] nach
> definition der Teilraumtopologie.
> [mm]\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha} \supseteq[/mm] Y
Genau.
> wegen Vorasetzung gilt: [mm]\bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i} \supseteq[/mm]
> Y
Genau.
> Ich bin mir nicht sicher ob das teilmengenzeichen so
> gehört..
Alles richtig!
> => Y = [mm]\bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wobei ich mir beim letzten schitt nicht 100% sicher bin,
> warum er folgt
Wieso? Hier passiert kein Hexenwerk, nur rumrechnen mit Mengen.
Du hast
$Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_i}$
[/mm]
und [mm] $U_{\alpha_i} \cap [/mm] Y = [mm] V_{\alpha_i}$.
[/mm]
Wie oben kannst du dir nun überlegen, dass sowohl $Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}$ [/mm] als auch $Y [mm] \supset \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}$ [/mm] gelten muss und somit $Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}V_{\alpha_i}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 So 10.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Vielen Dank, für mich ist nun alles geklärt!
Liebe grüße
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