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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{T}) [/mm] ein topologischer Raum mit [mm] X=\IR [/mm] und der Topologie [mm] \mathcal{T}, [/mm] die folgendermaßen definiert ist:
[mm] U\in\mathcal{T} :\gdw \exists_{x_1,...,x_n}: U=\IR\backslash\{x_1,...,x_n\} [/mm] oder [mm] U=\emptyset
[/mm]
(a) Jede Teilmenge in [mm] (X,\mathcal{T}) [/mm] ist kompakt
(b) zeigen Sie, dass es kompakte Menge in [mm] (X,\mathcal{T}) [/mm] gibt, welche nicht abgeschlossen sind |
Guten Abend an alle Korrigierer/innen,
Topologie liegt mir nicht so richtig und ist auch nur ein Randgebiet aus Ana II. Dennoch habe ich mich mal an diese Aufgabe gewagt und wollte euch mal meine Lösung vorstellen:
zu (a):
Wir wissen, dass eine Teilmenge [mm] K\subset$X$ [/mm] kompakt ist, wenn es für jede offene Überdeckung [mm] \{U_i\}_{i\in I} [/mm] von $K$ endlich viele Indizes [mm] i_1,...,i_k [/mm] gibt, so dass: [mm] K\subset U_{i_1}\cup [/mm] ... [mm] \cup{U_{i_k}}
[/mm]
Sei $K$ eine beliebige Teilmenge von [mm] (X,\mathcal{T})
[/mm]
O.B.d.A: $K$ ist eine Familie [mm] \{x_i\}_{i\in I} [/mm] von Punkten aus $X$, dann ist zu zeigen, dass [mm] \{x_i\}_{i\in I} [/mm] kompakt in [mm] (X,\mathcal{T}) [/mm] ist
Sei [mm] \{U_j\}_{j\in J} [/mm] eine beliebige offene Überdeckung von K, dann existiert (sogar) eine Umgebung [mm] U_{j_1}\in\mathcal{T} [/mm] mit [mm] x_1,...,x_n\in\IR\backslash\{x_i\}_{i\in I} [/mm] so dass [mm] K=\IR\backslash\{x_1,...,x_n\} [/mm] ist
(in prosa: Man nehme alle Elemente aus [mm] \IR [/mm] ohne die Elemente [mm] \{x_i\}, [/mm] dann ist das Komplement gerade $K$ selbst ... obwohl eigentlich alle Elemente aus [mm] \mathcal{T} [/mm] offen sein müssten ...)
Vielleicht kann mir einer von euch helfen, den Fehler in dieser Aufgabe zu finden oder aber mir hilfreiche Tipps zur Verbesserung geben.
zu (b):
Theoretisch habe ich oben o.B.d.A angenommen, dass [mm] \{x_i\} [/mm] eine beliebe Menge aus Punkten aus $X$ bzw. [mm] \IR [/mm] sind. Diese sind im allgemeinen weder offen noch abgeschlossen ... zu einfach?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Sa 30.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm](X,\mathcal{T})[/mm] ein topologischer Raum mit [mm]X=\IR[/mm] und
> der Topologie [mm]\mathcal{T},[/mm] die folgendermaßen definiert
> ist:
>
> [mm]U\in\mathcal{T} :\gdw \exists_{x_1,...,x_n}: U=\IR\backslash\{x_1,...,x_n\}[/mm]
> oder [mm]U=\emptyset[/mm]
>
> (a) Jede Teilmenge in [mm](X,\mathcal{T})[/mm] ist kompakt
> (b) zeigen Sie, dass es kompakte Menge in [mm](X,\mathcal{T})[/mm]
> gibt, welche nicht abgeschlossen sind
> Guten Abend an alle Korrigierer/innen,
>
> Topologie liegt mir nicht so richtig und ist auch nur ein
> Randgebiet aus Ana II. Dennoch habe ich mich mal an diese
> Aufgabe gewagt und wollte euch mal meine Lösung
> vorstellen:
>
> zu (a):
> Wir wissen, dass eine Teilmenge [mm]K\subset[/mm] [mm]X[/mm] kompakt ist,
> wenn es für jede offene Überdeckung [mm]\{U_i\}_{i\in I}[/mm] von
> [mm]K[/mm] endlich viele Indizes [mm]i_1,...,i_k[/mm] gibt, so dass: [mm]K\subset U_{i_1}\cup[/mm]
> ... [mm]\cup{U_{i_k}}[/mm]
>
> Sei [mm]K[/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm](X,\mathcal{T})[/mm]
>
> O.B.d.A: [mm]K[/mm] ist eine Familie [mm]\{x_i\}_{i\in I}[/mm] von Punkten
> aus [mm]X[/mm], dann ist zu zeigen, dass [mm]\{x_i\}_{i\in I}[/mm] kompakt in
> [mm](X,\mathcal{T})[/mm] ist
>
> Sei [mm]\{U_j\}_{j\in J}[/mm] eine beliebige offene Überdeckung von
> K, dann existiert (sogar) eine Umgebung
> [mm]U_{j_1}\in\mathcal{T}[/mm] mit
> [mm]x_1,...,x_n\in\IR\backslash\{x_i\}_{i\in I}[/mm] so dass
> [mm]K=\IR\backslash\{x_1,...,x_n\}[/mm] ist
Nein. Das wäre nur der Fall, wenn [mm] $\IR\setminus [/mm] K$ nur endlich viele Punkte enthält. Nimm z.B für K die Menge aller positiven reellen Zahlen, dann ist deine Aussage falsch.
Ich vermute, du meinst [mm] $K\subset \IR\backslash\{x_1,...,x_n\}$. [/mm] Das ist tatsächlich der Fall, wenn es so ein einzelnes [mm]U_{j_1}\in\mathcal{T}[/mm] gibt, aber wieso sollte es das geben? Gegenbeispiel: [mm] $K=\IR\setminus\{0\}$, [/mm] die Überdeckung habe die Elemente [mm] $U_{(x_1,x_2)} [/mm] := [mm] \IR\setminus\{x_1,x_2\}$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2\in \IR, x_1\not=x_2$. [/mm] Offensichtlich gibt es kein einzelnes Element der Überdeckung, das K enthält, du brauchst mindestens zwei davon.
Tipp: versuche, dies zu verallgemeineren, das heisst, dass du mit einem Element der Überdeckung K bis auf endlich viele Punkte abdecken kannst.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
> Ich vermute, du meinst [mm]K\subset \IR\backslash\{x_1,...,x_n\}[/mm].
> Das ist tatsächlich der Fall, wenn es so ein einzelnes
> [mm]U_{j_1}\in\mathcal{T}[/mm] gibt, aber wieso sollte es das geben?
> Gegenbeispiel: [mm]K=\IR\setminus\{0\}[/mm], die Überdeckung habe
> die Elemente [mm]U_{(x_1,x_2)} := \IR\setminus\{x_1,x_2\}[/mm] mit
> [mm]x_1,x_2\in \IR, x_1\not=x_2[/mm]. Offensichtlich gibt es kein
> einzelnes Element der Überdeckung, das K enthält, du
> brauchst mindestens zwei davon.
Das verstehe ich nicht so ganz ... ich kann doch einfach [mm] 0\in\IR [/mm] nehmen mit [mm] U=\IR\backslash\{0\}. [/mm] Dann habe ich doch auch mit einer Umgebung mein $K$ überdeckt?
> Tipp: versuche, dies zu verallgemeineren, das heisst, dass
> du mit einem Element der Überdeckung K bis auf endlich
> viele Punkte abdecken kannst.
Kann man mithilfe dieser Topologie ganz [mm] \IR [/mm] mit nur 2 Umgebungen abdecken? Zum Beispiel: [mm] U_{x_1}:=\IR\backslash\{x_1\} \cup U_{x_2}:=\IR\backslash\{x_2\}
[/mm]
Danke für deine Hilfe und viele Grüße,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Sa 30.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> > Ich vermute, du meinst [mm]K\subset \IR\backslash\{x_1,...,x_n\}[/mm].
> > Das ist tatsächlich der Fall, wenn es so ein einzelnes
> > [mm]U_{j_1}\in\mathcal{T}[/mm] gibt, aber wieso sollte es das geben?
> > Gegenbeispiel: [mm]K=\IR\setminus\{0\}[/mm], die Überdeckung habe
> > die Elemente [mm]U_{(x_1,x_2)} := \IR\setminus\{x_1,x_2\}[/mm] mit
> > [mm]x_1,x_2\in \IR, x_1\not=x_2[/mm]. Offensichtlich gibt es kein
> > einzelnes Element der Überdeckung, das K enthält, du
> > brauchst mindestens zwei davon.
>
> Das verstehe ich nicht so ganz ... ich kann doch einfach
> [mm]0\in\IR[/mm] nehmen mit [mm]U=\IR\backslash\{0\}.[/mm] Dann habe ich doch
> auch mit einer Umgebung mein [mm]K[/mm] überdeckt?
Dann hast du die Definition nicht verstanden. Es geht nicht darum, eine Überdeckung zu finden, sondern zu jeder beliebigen (unendlichen) Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung zu finden.
Ich habe dir eine unendliche Überdeckung genannt, die [mm]U=\IR\backslash\{0\}[/mm] nicht enthält.
Viele Grüße
Rainer
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ich glaube jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank!
Konnte ich denn O.b.d.A. annehmen, dass K eine beliebige Familie von Punkten aus X ist? Dies war meine entscheidende Argumentation bei der 2. Teilaufgabe.
Viele Grüße,
Alexej
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Um diese Diskussion abzurunden habe ich jetzt folgende Lösung erstellt:
zu (a):
Sei $K$ eine beliebige Teilmenge von [mm] $(X,\mathcal{T})$.
[/mm]
o.B.d.A.: $K$ ist eine Familie $ [mm] \{x_i\}_{i\in I} [/mm] $ von Punkten aus $X$, dann ist zu zeigen, dass $ [mm] \{x_i\}_{i\in I} [/mm] $ kompakt in [mm] $(X,\mathcal{T})$ [/mm] ist.
Sei $ [mm] \{U_j\}_{j\in J} [/mm] $ eine beliebige Überdeckung von $K$, dann betrachte man ein Element dieser Überdeckung, für die gilt:
[mm] $U_{j_1}=\IR\backslash\{x_1, ..., x_n\}$
[/mm]
Diese Umgebung überdeckt $K$ bis auf endlich viele Elemente (maximal bis auf [mm] $\{x_1,...,x_n\}$). [/mm] Man wähle nun eine zweite Umgebung [mm] $U_{j_2}$ [/mm] aus der Überdeckung $ [mm] \{U_j\}_{j\in J} [/mm] $, die die Elemente [mm] $\{x_1,...,x_n\}$ [/mm] enthält. Dann gilt:
[mm] $K\subset U_{j_1} \cup U_{j_2}$
[/mm]
Somit folgt aus der Definition, dass $K$ in [mm] $(X,\mathcal{T})$ [/mm] kompakt ist.
zu b:
Man betrachte das kompakte Intervall $[-1,1]$, welches in der Topologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] nicht abgeschlossen ist, da das Komplement [mm] $\IR\backslash [-1,1]=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ [/mm] überabzählbar viele Elemente besitzt und damit nach der Definition unserer Topologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] nicht offen ist. Mit anderen Worten existieren keine [mm] $x_1, ...,x_n \in \IR$, [/mm] so dass die Umgebung [mm] $U=(-\infty,-1)$ [/mm] ist. Somit ist [mm] $(-\infty,-1)$ [/mm] nicht offen in [mm] $\mathcal{T}$. [/mm] (Analoges gilt auch für [mm] $(1,\infty)$).
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 03.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Um diese Diskussion abzurunden habe ich jetzt folgende
> Lösung erstellt:
>
> zu (a):
>
> Sei [mm]K[/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm](X,\mathcal{T})[/mm].
> o.B.d.A.: [mm]K[/mm] ist eine Familie [mm]\{x_i\}_{i\in I}[/mm] von Punkten
> aus [mm]X[/mm], dann ist zu zeigen, dass [mm]\{x_i\}_{i\in I}[/mm] kompakt in
> [mm](X,\mathcal{T})[/mm] ist.
>
> Sei [mm]\{U_j\}_{j\in J}[/mm] eine beliebige Überdeckung von [mm]K[/mm],
> dann betrachte man ein Element dieser Überdeckung, für
> die gilt:
>
> [mm]U_{j_1}=\IR\backslash\{x_1, ..., x_n\}[/mm]
>
> Diese Umgebung überdeckt [mm]K[/mm] bis auf endlich viele Elemente
> (maximal bis auf [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm]).
Soweit richtig.
> Man wähle nun eine
> zweite Umgebung [mm]U_{j_2}[/mm] aus der Überdeckung [mm]\{U_j\}_{j\in J} [/mm],
> die die Elemente [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm] enthält. Dann gilt:
>
> [mm]K\subset U_{j_1} \cup U_{j_2}[/mm]
So ein Element [mm]U_{j_2}[/mm] muss es nicht geben. Du kannst nur annehmen, dass es ein Element [mm]U_{j_2}\in \{U_j\}_{j\in J} [/mm] gibt, dass mindestens einen der Punkte [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm] enthält.
[mm] $\{U_j\}_{j\in J} \setminus U_{j_1} [/mm] $ überdeckt die endliche Menge [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm]; daher gibt es in [mm] $\{U_j\}_{j\in J} \setminus U_{j_1} [/mm] $ eine endliche Teilüberdeckung von [mm]\{x_1,...,x_n\}[/mm] .
> Somit folgt aus der Definition, dass [mm]K[/mm] in [mm](X,\mathcal{T})[/mm]
> kompakt ist.
>
> zu b:
>
> Man betrachte das kompakte Intervall [mm][-1,1][/mm], welches in der
> Topologie [mm]\mathcal{T}[/mm] nicht abgeschlossen ist, da das
> Komplement [mm]\IR\backslash [-1,1]=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)[/mm]
> überabzählbar viele Elemente besitzt und damit nach der
> Definition unserer Topologie [mm]\mathcal{T}[/mm] nicht offen ist.
Das stimmt so nicht. Nach der Definition von [mm]\mathcal{T}[/mm] sind diejenigen Mengen offen, deren Komplement aus endlich vielen Punkten besteht. Folglich sind diejenigen Mengen abgeschlossen, die nur endlich viele Elemente enthalten. Da [mm][-1,1][/mm] unendlich viele Punkte enthält, ist es nicht abgeschlossen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 04.05.2011 | | Autor: | IhM |
In der Vorlesung haben wir definiert dass A [mm] \subset [/mm] X (X metr Raum) abgeschlossen ist, wenn
X [mm] \setminus [/mm] A offen ist
Und hatten da auch ein Beispiel eines kompakten Intervalles [mm] \left[ a,b \right][/mm]
[mm] \left[ -1,1 \right] [/mm] ist doch genau so ein intervall
denn [mm] \IR\ \setminus \left[ -1,1 \right] [/mm] ist gleich ( [mm] \IR\ \setminus \left( \left(-\infty,-1 \right) \cup \left( 1, \infty \right) \right) [/mm] )
und ( [mm] -\infty,-1) [/mm] und ( 1, [mm] \infty [/mm] ) sind offen
und somit ist [mm] \left[-1,1\right] [/mm] abgeschlossen
Gilt das hier nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mi 04.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> In der Vorlesung haben wir definiert dass A [mm]\subset[/mm] X (X
> metr Raum) abgeschlossen ist, wenn
>
> X [mm]\setminus[/mm] A offen ist
>
> Und hatten da auch ein Beispiel eines kompakten
> Intervalles [mm]\left[ a,b \right][/mm]
>
> [mm]\left[ -1,1 \right][/mm] ist doch genau so ein intervall
> denn [mm]\IR\ \setminus \left[ -1,1 \right][/mm] ist gleich ( [mm]\IR\ \setminus \left( \left(-\infty,-1 \right) \cup \left( 1, \infty \right) \right)[/mm]
> )
>
> und ( [mm]-\infty,-1)[/mm] und ( 1, [mm]\infty[/mm] ) sind offen
Nein, in der angegebenen Topologie sind diese beiden unendlichen Intervalle nicht offen. Du übersiehst, dass es sich hier nicht um die Standardtopologie der reellen Zahlen handelt. Per Definition sind hier genau die Mengen offen, deren Komplement aus endlich vielen Punkten besteht.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 03.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Alexej!
> ich glaube jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank!
>
> Konnte ich denn O.b.d.A. annehmen, dass K eine beliebige
> Familie von Punkten aus X ist?
Das ist doch trivialerweise der Fall.
Viele Grüße
Rainer
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