Kompakte und disjunkte Räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien A und K disjunkte nichtleere Teilmengen eines normierten Raumes V , A abgeschlossen und K kompakt. Zeigen Sie, dass diese Mengen positiven Abstand haben. |
Hi ihr,
hab mir da etz folgendes zu gedacht!
Also den Abstand würde ich doch mit Hilfe einer Distanzfunktion berechnen! Und die wäre ja d ( x,y) := |x - y| so das würde ja scho mal heißen das der Abstand entweder 0 ist oder positiv.
Jetzt will ich also nur noch zeigen das der Abstand nicht 0 ist.
Dazu würde es doch reichen das [mm] \emptyset \not= [/mm] A [mm] \subset [/mm] V und [mm] \emptyset \not= [/mm] K [mm] \subset [/mm] V disjunkte Teilmengen sind also A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wenn d ( A,K ) der geringste Abstande zwischen A und K ist das er nicht gleich 0 sein kann da die Teilmengen disjunkt sind.
Was muss man an dem Beweis noch ändern oder ist er völlig falsch! Ich hoffe ihr habt ein paar Tipps für mich!
Danke schon mal!
Bye Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Flo,
ich glaub so ziemlich genau diese Frage hatten wir die Tage schonmal hier. Schau evtl. im Analysis-Forum.
> Seien A und K disjunkte nichtleere Teilmengen eines
> normierten Raumes V , A abgeschlossen und K kompakt. Zeigen
> Sie, dass diese Mengen positiven Abstand haben.
> Hi ihr,
>
> hab mir da etz folgendes zu gedacht!
>
> Also den Abstand würde ich doch mit Hilfe einer
> Distanzfunktion berechnen! Und die wäre ja d ( x,y) := |x
> - y| so das würde ja scho mal heißen das der Abstand
> entweder 0 ist oder positiv.
>
> Jetzt will ich also nur noch zeigen das der Abstand nicht 0
> ist.
>
> Dazu würde es doch reichen das [mm]\emptyset \not=[/mm] A [mm]\subset[/mm] V
> und [mm]\emptyset \not=[/mm] K [mm]\subset[/mm] V disjunkte Teilmengen sind
> also A [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] wenn d ( A,K ) der geringste Abstande zwischen
> A und K ist das er nicht gleich 0 sein kann da die
> Teilmengen disjunkt sind.
Nein, das reicht nicht: nimm etwa die Menge $K = [0, 1]$ und $A = ]1, 2]$. Hier ist $A$ nicht abgeschlossen, und zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist $1 [mm] \in [/mm] K$, $1 + [mm] \varepsilon \in [/mm] A$ und somit $d(K, A) [mm] \le [/mm] d(1, 1 + [mm] \varepsilon) [/mm] = [mm] \varepsilon$. [/mm] Also ist $d(K, A) = 0$, obwohl $K$ und $A$ disjunkt sind.
Das die eine Menge kompakt und die andere abgeschlossen ist ist also schon wichtig.
(Das beide Mengen abgeschlossen sind reicht auch nicht, in [mm] $\IR$ [/mm] kann man dann schon ein einfaches Gegenbeispiel konstruieren, etwa $A = [mm] \IZ$ [/mm] und $K = [mm] \{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \IN, n \ge 2 \}$. [/mm] Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] ist $n [mm] \in [/mm] A$, $n + [mm] \frac{1}{n} \in [/mm] K$, womit $d(A, K) [mm] \le [/mm] d(n, n + [mm] \frac{1}{n}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] ist, und das geht gegen 0.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 19.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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