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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
ich wollte fragen, ob es abgeschlossene und beschränkte Mengen gibt, die nicht kompakt sind? Wenn ja, kann mir da jemand vielleicht ein Beispiel nennen?
Danke im Vorraus
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 24.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy,
> ich wollte fragen, ob es abgeschlossene und beschränkte
> Mengen gibt, die nicht kompakt sind? Wenn ja, kann mir da
> jemand vielleicht ein Beispiel nennen?
nimm dir irgendeinen unendlichdimensionalen normierten Vektorraum $(V, [mm] \| \bullet \|)$ [/mm] mit der Normtopologie. Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel $B := [mm] \{ v \in V \mid \| v \| \le 1 \}$ [/mm] abgeschlossen, beschraenkt, aber nicht kompakt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo nochmal,
was ist denn eine Normtopologie???
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
> was ist denn eine Normtopologie???
gemeint ist damit folgendes:
Auf jedem metrischen Raum $(X,d)$ kann man in natürlicher Weise eine Topologie angeben (also einen topologischen Raum $(X,T)$ machen, wobei $T$ Topologie). Man sagt zu dieser Topologie dann, sie sei von der Metrik induziert:
[mm] $T=\left\{O \subset X: O \mbox{ ist offen }(\mbox{bzgl. }d)\right\}$
[/mm]
ist eben die Topologie der offenen Mengen. Hierbei würde man besser [mm] $T=T_d$ [/mm] schreiben, denn eine Menge $O [mm] \subset [/mm] X$ heißt genau dann offen (bzgl. der Metrik $d$), wenn gilt:
Für jedes $o [mm] \in [/mm] O$ existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(o) [/mm] > 0$, so dass [mm] $U_\varepsilon (o):=\left\{y \in X: d(y,o) < \varepsilon\right\} \subset [/mm] O$ gilt.
Damit ist dann [mm] $(X,T_d)$ [/mm] ein topologischer Raum.
Nun gilt zudem:
Ist $(V,||.||)$ ein normierter Raum, so induziert $||.||$ in natürlicher Weise eine Metrik auf $V$. Mit der Definition
[mm] $(\*)$ $d_{||.||}: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [0,\infty)$, $d_{||.||}(x,y):=||x-y||$ [/mm] ($x,y [mm] \in [/mm] V$)
ist nämlich [mm] $(V,d_{||.||})$ [/mm] ein metrischer Raum.
Mit anderen Worten:
Sei $(V,||.||)$ ein normierter Raum. Dann gilt:
Die Norm $||.||$ induziert eine Metrik [mm] $d_{||.||}$ [/mm] auf $V$, vgl. [mm] $(\*)$. [/mm] Diese Metrik [mm] $d_{||.||}$ [/mm] induziert dann wieder in natürlicher Weise eine Topologie auf $V$, nämlich [mm] $T_{d_{||.||}}$. [/mm] Und diese Topologie [mm] $T_{d_{||.||}}$ [/mm] ist gemeint, mit anderen Worten:
[mm] T_{d_{||.||}}=\{O \subset V: O \mbox{ ist offen bzgl. } d_{||.||}\}
[/mm]
wobei eine Teilmenge $O [mm] \subset [/mm] V$ dann genau dann offen bzgl. [mm] $d_{||.||}$ [/mm] ist, wenn gilt:
Für jedes $o [mm] \in [/mm] O$ existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(o) [/mm] > 0$, so dass [mm] $U_{\varepsilon} (o)=\{v \in V: ||v-o||<\varepsilon\} \subset [/mm] O$ gilt.
Also, in diesem Sinne:
Betrachte den durch die Norm induzierten topologischen Raum [mm] $(V,T_{d_{||.||}})$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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