Kompaktheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Max1603 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A_{0} \supset A_{1} [/mm] .. eine absteigende Folge von nichtleeren, kompakten
Teilmengen eines metrischen Raums. Zeigen Sie, dassd ann auch
A [mm] :=\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}
[/mm]
nichtleer und kompakt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen, habe folgende Lösung
1) nicht leer
Sei eine Folge [mm] x_{k} [/mm] so gewählt, dass [mm] x_{k}\in A_{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{k}\in A_{0} \forall [/mm] k
[mm] \Rightarrow [/mm] es ex. a [mm] \in A_{0} [/mm] und [mm] x_{k_{j}}, [/mm] so dass
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_{j}}=a
[/mm]
Da aber [mm] \forall [/mm] k [mm] j_{0} [/mm] existiert : [mm] x_{k_{j}} \in A_{k} \forall j\ge j_{0}, [/mm] folgt a [mm] \in A_{k} \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
und somit a [mm] \in \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}
[/mm]
2)Kompakt
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n} [/mm] abg. und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}\subset A_{0}, [/mm] folgt nun mit Kompaktheit von [mm] A_{0}, [/mm] dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n} [/mm] kompakt ist
fertig!!!
Kann mir bitte sagen, ob dies richtig ist??
Dankeschön
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> Es sei [mm]A_{0} \supset A_{1}[/mm] .. eine absteigende Folge von
> nichtleeren, kompakten
> Teilmengen eines metrischen Raums. Zeigen Sie, dassd ann
> auch
> A [mm]:=\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}[/mm]
> nichtleer und kompakt ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo alle zusammen, habe folgende Lösung
>
> 1) nicht leer
>
> Sei eine Folge [mm]x_{k}[/mm] so gewählt, dass [mm]x_{k}\in A_{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{k}\in A_{0} \forall[/mm] k
> [mm]\Rightarrow[/mm] es ex. a [mm]\in A_{0}[/mm] und [mm]x_{k_{j}},[/mm] so dass
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_{j}}=a[/mm]
> Da aber [mm]\forall[/mm] k [mm]j_{0}[/mm] existiert : [mm]x_{k_{j}} \in A_{k} \forall j\ge j_{0},[/mm]
> folgt a [mm]\in A_{k} \forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
> und somit a [mm]\in \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}[/mm]
>
> 2)Kompakt
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}[/mm] abg.
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}\subset A_{0},[/mm]
> folgt nun mit Kompaktheit von [mm]A_{0},[/mm] dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}[/mm] kompakt
> ist
>
> fertig!!!
>
> Kann mir bitte sagen, ob dies richtig ist??
Meiner Meinung nach ist dies richtig. - Wo und weshalb bist Du Dir selbst der Richtigkeit dieser Überlegung unsicher? - Natürlich ist dies hier sehr abgekürzt geschrieben: auf Papier würde ich schon noch etwas näher an vollständige Sätze heranzukommen versuchen 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Max1603 |
erstmal dankeschön :))
ich war mir an der folgenden Stelle nicht sicher
und somit a [mm] \in \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}
[/mm]
wegen unendlich halt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:18 Do 12.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> erstmal dankeschön :))
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> ich war mir an der folgenden Stelle nicht sicher
> und somit a [mm]\in \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}[/mm]
>
> wegen unendlich halt
Diese Schreibweise [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{n}$ [/mm] ist, wie mir erst nachträglich auffällt, ziemlich unsinnig: weil der Index $i$ im Bindungsbereich von [mm] $\bigcap$ [/mm] gar nicht vorkommt.
Vermutlich ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$ [/mm] gemeint. Bei einer inklusionsmonoton fallenden Folge von Mengen [mm] $A_n$ [/mm] ist dies aber das selbe wie [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}A_n$ [/mm] bzw. wie [mm] $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$. [/mm] Auch nicht so recht einzusehen ist (für mich), weshalb der Aufgabensteller nicht gleich [mm] $\bigcap_{n=0}^\infty A_n$ [/mm] geschrieben hat.
Ist diese Vorüberlegung richtig, so kann man sagen: Du hast gezeigt, dass für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] der Limes $a$ in [mm] $A_n$ [/mm] liegt. Dies besagt nichts anderes als [mm] $a\in \bigcap_{n\in \IN}A_n$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Do 12.06.2008 | | Autor: | Max1603 |
:))ja du hast Recht. Ich habe es bei mir auch so gemacht wie du das meintes.
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