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Forum "Topologie und Geometrie" - Kompaktheit/Homöomorphismus
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Kompaktheit/Homöomorphismus: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:48 Do 29.11.2012
Autor: helicopter

Aufgabe
Sei nun f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige, bijektive Abbildung zwischen den Hausdorffschen topologischen Räumen [mm] (X,\frak{X}) [/mm] und [mm] (Y,\frak{Y}). [/mm]
Zeige; Ist X kompakt, dann ist f ein homöomorphismus.


Hallo.
Da die Abbildung ja bijektiv und stetig ist, brauche ich nur noch die Stetigkeit der Umkehrabbildung für den Homöomorphismus.
Nach Definition müsste dann gelten: [mm] f^{-1} [/mm] stetig [mm] \gdw U\in\frak{X} \Rightarrow f(U)\in\frak{Y} [/mm]

Das ist aber gerade dann der Fall, wenn f offen ist.

Die Kompaktheit haben wir so definiert:
[mm] (X,\frak{X}) [/mm] Hausdorffscher topologischer Raum heißt kompakt [mm] \gdw [/mm] Für alle offenen Überdeckungen [mm] \frak{U} [/mm] existiert eine endliche Überdeckung [mm] U_{1},.....,U_{k}\in\frak{U} [/mm] mit X = [mm] \bigcup_{i=1}^{k}U_{k} [/mm]

Nun versuche ich zu verstehen warum die Kompaktheit vorausgesetzt wird.
Nach der Defintion der Stetigkeit von f gilt ja [mm] \forall W\in\frak{Y} \Rightarrow f^{-1}(W)\in\frak{X}. [/mm]
Sehe ich das Richtig das dann die Urbilder von allen W gerade die offenen Überdeckungen von X wären?


Das war jetzt Quatsch...
Habe die selbe Aufgabe hier im Forum gefunden und ich denke ich weiß was ich zu tun habe. Ich habe alle Sätze die ich brauche, bis auf die Aussage das Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind. Muss jetzt zusehen wie ich das zeige.

Gruß


        
Bezug
Kompaktheit/Homöomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Do 29.11.2012
Autor: helicopter

Habs hingekriegt :)

Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt vorausgesetzt wird?

Danke

Bezug
                
Bezug
Kompaktheit/Homöomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Fr 30.11.2012
Autor: fred97


> Habs hingekriegt :)
>  
> Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden
> wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt
> vorausgesetzt wird?

Wir versehen [mm] \IR [/mm] mit der Topologie, die vom Betrag erzeugt wird

X:=[0,1) [mm] \cup \{2\} [/mm] und Y:=[0,1] versehen wir mit der Spurtopologie

Für x [mm] \in [/mm] X: f(x)=x, falls x [mm] \in [/mm] [0,1)  und f(2):=1

X ist nicht kompakt, Y ist kompakt, f:X [mm] \to [/mm] Y ist stetig und bijektiv.

[mm] f^{-1} [/mm] ist nicht stetig.

FRED

>  
> Danke


Bezug
                
Bezug
Kompaktheit/Homöomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Fr 30.11.2012
Autor: Helbig


> Habs hingekriegt :)
>  
> Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden
> wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt
> vorausgesetzt wird?
>  
> Danke

Hallo helicopter,

Mir ist auch noch ein Beispiel eingefallen:

    [mm] $[0;2\pi)\to S^1,\; x\mapsto e^{ix}\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang


Bezug
        
Bezug
Kompaktheit/Homöomorphismus: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 01.12.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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