Kompaktheit Integraloperator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Bushman |
Hallo, ich hätte noch eine zweite Frage. Und zwar soll ich Kompaktheit eines Integraloperators:
T: [mm] L^{2}(\IR) [/mm] -> [mm] L^{2}(\IR) [/mm] : (Tf)(x) = [mm] \integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy [/mm] , [mm] k\in L^{2}(\IR^{2}) [/mm] zeigen. Vorrausgesetzt ist hierbei, dass eine Folge von Treppenfunktionen [mm] k_n [/mm] existiert, sodass [mm] \parallel k-k_n \parallel [/mm] -> 0 : n -> [mm] \infty [/mm] bezüglich der [mm] L^{2} [/mm] Norm gilt.
Unter dieser Vorraussetzung gibt es eine Folge von Operatoren [mm] (T_n [/mm] f)(x) = [mm] \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy [/mm] mit [mm] T_n [/mm] -> T : n -> [mm] \infty. [/mm]
[mm] \parallel T-T_n \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{\IR}{[\integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy - \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy]^{2} dx}}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach behaupten kann, dass [mm] \integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy [/mm] -> [mm] \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy [/mm] : n -> [mm] \infty [/mm] gilt und das ganze somit gegen 0 geht ?
lg Bushman
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: als Antwort auf einen meiner vorherigen Threads, aber ich glaube ich sollte die Frage nochmal als neues Thema eröffnen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 24.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo, ich hätte noch eine zweite Frage. Und zwar soll ich
> Kompaktheit eines Integraloperators:
>
> T: [mm]L^{2}(\IR)[/mm] -> [mm]L^{2}(\IR)[/mm] : (Tf)(x) =
> [mm]\integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy[/mm] , [mm]k\in L^{2}(\IR^{2})[/mm]
> zeigen. Vorrausgesetzt ist hierbei, dass eine Folge von
> Treppenfunktionen [mm]k_n[/mm] existiert, sodass [mm]\parallel k-k_n \parallel[/mm]
> -> 0 : n -> [mm]\infty[/mm] bezüglich der [mm]L^{2}[/mm] Norm gilt.
>
> Unter dieser Vorraussetzung gibt es eine Folge von
> Operatoren [mm](T_n[/mm] f)(x) = [mm]\integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy[/mm] mit
> [mm]T_n[/mm] -> T : n -> [mm]\infty.[/mm]
>
> [mm]\parallel T-T_n \parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{\integral_{\IR}{[\integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy - \integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy]^{2} dx}}[/mm]
>
Das ist nicht richtig!
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach behaupten
> kann, dass [mm]\integral_{\IR}k(x,y)*f(y)dy[/mm] ->
> [mm]\integral_{\IR}k_n(x,y)*f(y)dy[/mm] : n -> [mm]\infty[/mm] gilt und das
> ganze somit gegen 0 geht ?
[mm] $\|T-T_n\|^2\le \|k-k_n\|_{L^2}\to [/mm] 0$ zeigt man ganz angenehm mit der Hölder-Ungleichung (bzw. Cauchy-Schwarz).
Ueberlege dir auch, dass $Bild \ [mm] T_n$ [/mm] endlichdimensional ist.
>
> lg Bushman
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: als Antwort auf einen meiner
> vorherigen Threads, aber ich glaube ich sollte die Frage
> nochmal als neues Thema eröffnen
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Bushman |
Danke für die Antwort.
Ist $ [mm] \parallel T-T_n \parallel [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{\integral_{\IR}{[\integral_{\IR}k(x,y)\cdot{}f(y)dy - \integral_{\IR}k_n(x,y)\cdot{}f(y)dy]^{2} dx}} [/mm] $ falsch weil ich die falsche Norm verwendet habe [mm] (L^{2} [/mm] Norm) oder weil T und [mm] T_n [/mm] falsch sind ? Im nachhinein betrachtet ergibt das was ich geschrieben habe keinen Sinn da T und [mm] T_n [/mm] ja nicht auf eine Funktionen angewendet wird.
Die Hölder-Ungleichugn kenne und verstehe ich nicht so wirklich (habe Funktionalanalysis im 3 Semester des Physikstudiums mit meiner Meinung nach absolut unzureichenden mathematischen Vorkenntnissen) aber die Cauchy-Schwarz Ungleichung ist mir bekannt.
Würdest du mir vielleicht erklären wie man zu dieser Abschätzung kommt ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 24.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Danke für die Antwort.
>
> Ist [mm]\parallel T-T_n \parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{\integral_{\IR}{[\integral_{\IR}k(x,y)\cdot{}f(y)dy - \integral_{\IR}k_n(x,y)\cdot{}f(y)dy]^{2} dx}}[/mm]
> falsch weil ich die falsche Norm verwendet habe [mm](L^{2}[/mm]
> Norm) oder weil T und [mm]T_n[/mm] falsch sind ? Im nachhinein
> betrachtet ergibt das was ich geschrieben habe keinen Sinn
> da T und [mm]T_n[/mm] ja nicht auf eine Funktionen angewendet wird.
Richtig, deshalb sollte da auch [mm] $\|Tf-T_nf\|_{L^2}$ [/mm] stehen statt der Operatornorm [mm] $\|T-T_n\|$
[/mm]
>
> Die Hölder-Ungleichugn kenne und verstehe ich nicht so
> wirklich (habe Funktionalanalysis im 3 Semester des
> Physikstudiums mit meiner Meinung nach absolut
> unzureichenden mathematischen Vorkenntnissen) aber die
> Cauchy-Schwarz Ungleichung ist mir bekannt.
>
> Würdest du mir vielleicht erklären wie man zu dieser
> Abschätzung kommt ?
Das solltest du schon selber herausfinden.
Starte mit [mm] $\|Tf-T_nf\|_{L^2}$ [/mm] und schätze das Integral mit Cauchy-Schwarz [mm] ($|\int fg|^2\le \int |f|^2 \int |g|^2$) [/mm] ab.
>
> lg
>
>
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Di 25.11.2014 | | Autor: | Bushman |
Danke andyv ich habe jetzt verstanden
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