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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mo 31.01.2011 | | Autor: | hula |
Hi zusammen
Es gibt ja den Satz, dass wenn $\ X $ ein topologischer Raum ist und kompakt, dann gilt für $\ Y [mm] \subset [/mm] X $ abgeschlossen, dass $\ Y $ ebenfalls kompakt ist.
Nun zu meiner Frage, muss nicht jede Teilmenge eines kompakten Raumes wieder kompakt sein? Mein Beweis würde so gehen:
Sei $\ [mm] \mathcall{O} [/mm] $ eine offene Überdeckung von X. Dann ist dies doch sicherlich auch eine offene Überdeckung von Y. Da X kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung $\ [mm] \{O_1,\dots,O_n | O_i \in \matcall{O}\} [/mm] $ die X überdeckt und somit auch Y.
Annmerkung: Es gilt ja der Satz, dass $\ Y [mm] \subset [/mm] X $ genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung (mit offenen Mengen aus X) von Y eine endliche Teilüberdeckugn von Y besitzen.
Dann könnte ich doch schliessen, dass jeder Teilraum eines kompakten Raumes wieder kompakt ist. Wieso formuliert man dann den Satz mit einer abgeschlossenen Menge? Oder kann mir jemand den Fehler im obigen Beweis nennen.
hula
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Huhu,
> Es gibt ja den Satz, dass wenn [mm]\ X[/mm] ein topologischer Raum
> ist und kompakt, dann gilt für [mm]\ Y \subset X[/mm]
> abgeschlossen, dass [mm]\ Y[/mm] ebenfalls kompakt ist.
> Nun zu meiner Frage, muss nicht jede Teilmenge eines
> kompakten Raumes wieder kompakt sein?
Nein, einfachstes Gegenbeispiel:
[0,1] ist kompakt, $(0,1) [mm] \subset [/mm] [0,1]$ aber offensichtlich nicht.
> Mein Beweis würde so gehen:
>
> Sei [mm]\ \mathcall{O}[/mm] eine offene Überdeckung von X. Dann ist
> dies doch sicherlich auch eine offene Überdeckung von Y.
Jo, damit hast du aber nicht alle Überdeckungen von Y erwischt.
Denn was ist mit denen, die Y überdecken aber nicht X ?
Wenn du es für diese auch zeigen könntest, dass eine endliche Teilüberdeckung exisitiert, wärst du fertig.
Hast du aber bisher noch nicht (und wirst du aufgrund obigen Gegenbeispiels auch kaum finden  )
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 31.01.2011 | | Autor: | hula |
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> Jo, damit hast du aber nicht alle Überdeckungen von Y
> erwischt.
> Denn was ist mit denen, die Y überdecken aber nicht X ?
>
> Wenn du es für diese auch zeigen könntest, dass eine
> endliche Teilüberdeckung exisitiert, wärst du fertig.
> Hast du aber bisher noch nicht (und wirst du aufgrund
> obigen Gegenbeispiels auch kaum finden )
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> MFG,
> Gono.
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Danke! Jetzt ist es mir klar
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