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| Aufgabe | Ermitteln sie
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n^2+1)^{2/3}+(n^3+2n+2)^{1/3}}{(n^3+3)^{4/9}+(3n^4-1)^{1/3}}[/mm]
als Bruch von Wurzelzahlen. Hinweis: Kürzen Sie mit einer geeigneten Potenz von n.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo!
Leider habe ich auch hierzu keine Lösung.
Mein Ansatz war es die 'Binome' unter den Wurzeln auszurechnen und dann jeweils ein 'n' vor die Wurzel zu ziehen um dieses dann kürzen zu können. So komme ich zu:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*\wurzel[3]{4n+4/n+1/n^3}+n*\wurzel[3]{1+2/n^2+2/n^3}}{n*\wurzel[9]{1/n+24/n^3+54/n^5+108/n^7+81/n^9}+n*\wurzel[3]{1+2/n^2+2/n^3}}=\bruch{n*\wurzel[3]{4n}+1}{0+1}[/mm]
Kann man das so machen? Oder wie wäre der Ansatz besser gewesen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Simon,
das scheint mir nicht zu stimmen.
Deine Rechnung für den Zähler stimmt, aber "umgeformte" Zähler strebt gegen $\infty$
Da ist dir so noch nicht viel geholfen.
Die Rechnung für den Nenner habe ich nicht mehr nachvollzogen...
M.E geht's einfacher, wenn du dir mal jeweils die höchste Potenz von $n$ im Zähler und Nenner anschaust:
im Zähler: Vergleichen wir die erste und zweite Klammer:
in der ersten ist die höchste Potenz $(2n^2+1)^{\frac{2}{3}}\rightarrow (2n^2)^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}\cdot{}n^{\frac{4}{3}}$
in der zweiten $(n^3+2n+2)^{\frac{1}{3}}\rightarrow n^1$
Also höchste Potenz im Zähler: $\red{2^{\frac{2}{3}}\cdot{}n^{\frac{4}{3}}}$
im Nenner: Vergleichen wir wieder die erste und zweite Klammer:
erste: $(n^3+3)^{\frac{4}{9}}\rightarrow n^{\frac{4}{3}}$
zweite $(3n^4-1)^{\frac{1}{3}}\rightarrow 3^{\frac{1}{3}}\cdot{}n^{\frac{4}{3}}$
Also kannst du im Nenner $n^{\frac{4}{3}}$ ausklammern
Nenner: $\red{n^{\frac{4}{3}}\cdot{}\left[1+3^{\frac{1}{3}}\right]}$
Also hat der ganze Bruch die "Größenordnung":
$\frac{2^{\frac{2}{3}}\cdot{}n^{\frac{4}{3}}}{\left(1+3^{\frac{1}{3}}\right)\cdot{}n^{\frac{4}{3}}$
Und das strebt für $n\to\infty$ gegen $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{1+3^{\frac{1}{3}}$
Gruß
schachuzipus
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