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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Komplemente der folgenden Unterräume Ui der Vektorräume Vi, i ∈ N, 1 ≤ i ≤ 4:
(i) V1 = [mm] \IR^{3}, [/mm] U1 = L {(1,2,3), (-2,4,1), (7,-2,7)}. |
Hey^^ ich hätte mal ne frage zum komplement,
also im komplement von U sind einfach gesagt alle vektoren drin, die man braucht um U auf V zu vervollständigen oder?
ich hab die erste Aufgabe jetz so gelöst, das ich erst mal die Basis von U1 bestimmt habe
habe die Vektoren als Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 1 & 7 }
[/mm]
in Zeilenstufenform umgeformt:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & -7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
den letzten vektor (7,-2,7) kann ich also rausnehmen da es 3 mal erste vektor minus 2 mal zweiter vektor ist
also Bu1= { [mm] \underbrace{(1,2,3)}_{=a1} [/mm] , [mm] \underbrace{(-2,4,1)}_{=a2} [/mm] }
eine basis von V ist ja {(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)}
mit den einheitsvektoren kann ich ja a1 und a2 darstellen, also kann ich ja e1 und e3 auch mit hilfe von a1 und a2 darstellen
also ist eine basis von V ja auch = {(1,2,3), (-2,4,1), (0,1,0)}
um also von der Basis Bu1 auf eine basis von V zu kommen muss ich ja dann (0,1,0) ergänzen, also ist das Kompliment von U = L{(0,1,0)}
bin mir nicht sicher ob des richtig ist, bzw wie ich dann, wenn es richtig ist aufschreiben soll, wie ich nun auf das komplement komme...
LG Ray
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die 2 Vektoren als Basis nimmst kannst du damit doch nicht [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] kombinieren? die 2 vektoren spannen eine ebene auf, als dritten nimmst du den, der auf beiden senkrecht steht!Dann ist das das echte Komplement.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
ich meinte, dass wenn ich eine basis von V ={e1,e2,e3} hab und dann weiß ich, dass a1= e1+2e2+3e3 ist => e1= a1-2e2-3e3
dann darf ich doch nach dem ausstauschsatz von steiniz e1 durch a1 ersetzen
und dann das selbe mit a2= -2e1+4e2+e3 => e3= a2+3e1-4e2
also ist eine andere basis von V={a1,a2,e2}
also "fehlt" ja nur noch e2
das mit dem senkrechten vektor versteh ich zwar (schulwissen) aber leider hatten wir des noch nicht in den vorlesungen, hast du vielleicht noch eine andere lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte an das orthogonal Komplement gedacht, aber richtig ist dass dein e2 eine Basis eines komplementären Unterraums ist. du musst also nachsehen, was ihr unter "das Komplement" definiert habt. Wenn ich nachlese steht da nur bestimme (irgendwelche) Komplemente.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
Sorry hab die definition voll vergessen
also bei uns ist W ein komplement von U, U ist unterraum von V
wenn gilt:
(i) U [mm] \cap [/mm] W ={0}
(ii) U+W = V
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 19.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Damit ist deine Lösung richtig
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 19.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Komplemente der folgenden Unterr¨aume [mm] U_{i}der [/mm] Vektorr¨aume [mm] V_{i}, [/mm] i ∈ N, 1 ≤ i ≤ 4:
(i) [mm] V_{1} [/mm] = [mm] \IR^{3}, U_{1} [/mm] = L{(1, 2, 3), (−2, 4, 1), (7,−2, 7)}.
(ii) [mm] V_{2} [/mm] = [mm] \IR^{4}, U_{2} [/mm] = [mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ \IR4 : 3x_{1} - 2x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = 0}.
[/mm]
(iii) [mm] V_{3} [/mm] = [mm] \IC^{4}, U_{3} [/mm] = L{(1, i,1 + i, 2), (2 + 4i,−5 + i, 0,2 + 6i), (0, 1,2 + 4i, 2)}.
(iv) [mm] V_{4} [/mm] = [mm] \IR^{4}[X], U_{4} [/mm] = {p(X) ∈ [mm] V_{4} [/mm] : p(0) = p(1) = 0}. |
hey^^ hab noch weitere fragen zu der aufgabe
also i ist geklärt
(iii), da hab ich das selbe gemacht,
Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2+4i & 0 \\ i & -5+i & 1 \\ 1+i & 0 & 2+4i \\ 2 & 2+6i & 2 }
[/mm]
auf zeilenstufenform
[mm] \pmat{ -1 & -2-4i & 0 \\ 0 & -4i+8 & -2+6i \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
gebracht und gezeigt, dass ich den letzten vektor (0, 1,2 + 4i, 2) als linear kombination von den beiden davor darstellen kann
dann hat der vektorraum [mm] V_{4} [/mm] ja eine basis, die so aussieht {(1,0,0,0),(0,1,0,0), (0,0,1,0),(0,0,0,1)}
die ersten beiden kann ich ja dann mit steiniz ersetzen also sieht die basis dann von [mm] V_{4} [/mm] so aus: {(1, i,1 + i, 2), (2 + 4i,−5 + i, 0,2 + 6i), (0,0,1,0),(0,0,0,1)}
also ist das komlement von [mm] U_{2}= [/mm] L{(0,0,1,0),(0,0,0,1)} oder?
bei der (ii) und (iv) hab ich leider keine idee
bei der ii kann es ja sein, dass in das komplement, dann alle vektoren müsse, wo die gleichung ungleich null ist vereinigt mit dem nullvektor, da es sonst kein untervektorraum mehr ist oder?
bei der iv hab ich leider keinen ansatz :(
LG Ray
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nachgerechnet hab ich nicht. wenn deine Umrechng stimmt ist iii richtig.
in ii,$ [mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ \IR4 : 3x_{1} - 2x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = 0}. [/mm] $
wieviele der [mm] x_i [/mm] kannst du denn frei wählen? gib denen die namen r,s,t,...
dann hast du den aufgespannten U
zu iiii) du kannst doch die p(x) durch die Koeffizienten der üblichen Basis
[mm] {1x,x^2,x^3} [/mm]
in den [mm] R^4 [/mm] versetzen . dann hast du wieder das übliche.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
ja bei der ii hab ich auch bemerkt, dass ich aus der koordinatenform die parameterform machen kann und dann ja das erzeugnis hab
Bu2={( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] , 1,0,0) , ( [mm] \bruch{-1}{3}, [/mm] 0,1,0), ( [mm] \bruch{-2}{3} [/mm] , 0,0,1)}
und dann mit Steiniz ist das komplement dann W2= L{(1,0,0,0)}
zur iv
bedeutet das [mm] \IR_{4} [/mm] [X] dass der höchste grad des polynoms 4 ist? also die basis dann {1,x,x²,x³, [mm] x^{4} [/mm] }
dann weiß ich noch (haben wir mal auf einem anderen Aufgabenblatt bewiesen)
das von {x-x², x-x³, [mm] x-x^{4} [/mm] } eine Basis dann von U4 ist, kann ich dann wieder Steiniz anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke in 4 ist der [mm] V_4 [/mm] derpol. bis zum dritten Grad gemeint.
also nicht bis zum 4 ten.
aber sieh nach. was ihr unter [mm] \IR^4[X] [/mm] definiert habt.
aber im prinzip geht das so.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
zu erst mal danke^^
also bei der iv hab ich jetzt das stehen
die definition von [mm] \IR_{n} [/mm] war: ist die menge der polynome p(x) [mm] \in \IR_{x} [/mm] mit deg p [mm] \le [/mm] n
dann ist doch der grad vier dabei oder?
also Basis von [mm] \IR_{4} [/mm] = {1, [mm] x^1 [/mm] , [mm] x^2, x^3 [/mm] , [mm] x^4 [/mm] }
Basis von [mm] U_{4} [/mm] = { [mm] x-x^2 [/mm] , [mm] x-x^3, x-x^4 [/mm] }
nach steiniz ist dann auch {1, [mm] x^1 [/mm] , [mm] x-x^2 [/mm] , [mm] x-x^3 ,x-x^4 [/mm] } eine Basis von [mm] \IR_{4}
[/mm]
=> Komplement von U4 ist = [mm] L{1,x^1}
[/mm]
stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Ja,
stimmt, wenn ihr die Basis von [mm] U_4 [/mm] schon gezeigt habt, sonst ist die leicht zu zeigen.
ich weiss nicht wie pingelig die bei euch sind. Im Prinzip müsste man ja nachweisen dass 1,x, nicht in U4 liegen, aber das ist ja sehr offensichtlich.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
okay danke für deine hilfe^^
werd halt noch was dazu schreiben das 1,x nicht in [mm] U_{4} [/mm] liegen^^
bis zum nächsten mal^^
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