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| Aufgabe | Sei V= [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] die Menge aller Abbildungen.
W={f [mm] \in [/mm] V| f(z)=0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] {-2,-1,0,1,2}} [mm] \subseteq [/mm] V.
Zeige, dass W ein Untervektorraum von V ist und finde ein Komplement von W in V. |
Hallo,
also, dass W ein Untervektorraum ist konnte ich zeigen, indem ich die UVR-Axiome geprüft habe. Das war soweit kein Problem.
Aber wie finde ich ein Komplent von W??
Meine Idee war folgende:
Ich nenne das Komplement von W mal U, dann ist doch:
U={f [mm] \in [/mm] V| [mm] f(z)\not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] {-2,-1,0,1,2}}.
Wäre das so korrekt? Finde die Lösung so nicht akzeptabel und glaube auch, dass es der Prof so nicht akzeptieren würde.
Bin für jede Hilfe dankbar!
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> Sei V= [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Menge aller Abbildungen.
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> W={f [mm]\in[/mm] V| f(z)=0 [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{-2,-1,0,1,2}} [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> V.
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> Zeige, dass W ein Untervektorraum von V ist und finde ein
> Komplement von W in V.
> Hallo,
>
> also, dass W ein Untervektorraum ist konnte ich zeigen,
> indem ich die UVR-Axiome geprüft habe. Das war soweit kein
> Problem.
>
> Aber wie finde ich ein Komplent von W??
>
> Meine Idee war folgende:
>
> Ich nenne das Komplement von W mal U, dann ist doch:
> U={f [mm]\in[/mm] V| [mm]f(z)\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{-2,-1,0,1,2}}.
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> Wäre das so korrekt? Finde die Lösung so nicht akzeptabel
> und glaube auch, dass es der Prof so nicht akzeptieren
> würde.
>
> Bin für jede Hilfe dankbar!
Hallo,
ich lasse jetzt mal offen, ob das ein Komplemnt ist oder nicht.
Dein Prof ist auf jeden Fall nicht zufrieden, wenn Du das einfach so hinschreibst.
Wenn Du behauptest, daß das ein Komplement ist, dann mußt Du es auch beweisen.
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß U eine Komplement von W in V ist?
Gruß v. Angela
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also ich müsste ja zeigen , dass eines der folgenden Bedingungen gilt:
W [mm] \cap [/mm] U = {0}
oder W [mm] \oplus [/mm] U = V
Aber wie mache ich das?
Habe da überhaupt keine Vorstellung von.... :-(
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> also ich müsste ja zeigen , dass eines der folgenden
> Bedingungen gilt:
>
> W [mm]\cap[/mm] U = {0}
Hallo,
das reicht nicht. Du mußt zusätzlich noch zeigen, daß V=W+U., und diese beiden Bedingungen sind äquivalent zu
> oder W [mm]\oplus[/mm] U = V
>
> Aber wie mache ich das?
> Habe da überhaupt keine Vorstellung von.... :-(
Schnitt:
man macht das meist so, daß man davon ausfeht, daß man ein Element (hier: eine Funktion) hat, welches im Schnitt liegt, und zeigt dann, daß es nur das Nullelement (hier: die Nullfunktion) sein kann.
Und? Wie schaut das aus bei Deinem Vorschlag fürs Komplement?
Ist Dein Komplement ein Untervektorraum von V?
Wenn ja: warum?
Wenn nein: warum nicht?
Für V=W+U mußt Du vormachen, daß man jedes f [mm] \in [/mm] V schreiben kann als [mm] f_U [/mm] + [mm] f_W [/mm] mit [mm] f_U\in [/mm] U, [mm] f_W\in [/mm] W.
Du mußt zu f also zwei passende Funktionen angeben, die drinliegen.
Gruß v. Angela
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Alles klar. Danke dir. Werd mich da gleich ranmachen.
Vorher aber noch eine Frage:
Der Vektorraum V ist doch hier [mm] Abb(\IR,\IR), [/mm] d.h. die Menger ALLER Abbildungen!
Ist dieser Vektorraum V denn überhaupt endlich erzeugt?
Ich meine , dass hier dimV= [mm] \infty [/mm] gilt.
Wenn das so ist, dann exisitert doch auch kein Komplement oder?
Ich bin zu dieser Überlegung gekommen, weil V die Menge aller Abbildungen ist und es mit Sicherheit unendlich viele Abbildungen gibt.
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> Der Vektorraum V ist doch hier [mm]Abb(\IR,\IR),[/mm] d.h. die
> Menger ALLER Abbildungen!
Hallo,
ja.
> Ist dieser Vektorraum V denn überhaupt endlich erzeugt?
> Ich meine , dass hier dimV= [mm]\infty[/mm] gilt.
Richtig.
>
> Wenn das so ist, dann exisitert doch auch kein Komplement
> oder?
Wieso?
"Komplement" hat damit nichts zu tun - mich würde aber mal interessieren, was Du Dir gedacht hast.
> Ich bin zu dieser Überlegung gekommen, weil V die Menge
> aller Abbildungen ist und es mit Sicherheit unendlich viele
> Abbildungen gibt.
Es gibt auch unendlich viele vektoren im [mm] \IR^2...
[/mm]
Gruß v. Angela
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hmm... stimmt auch wieder.
ich dachte mir folgendes :
wenn dimV= [mm] \infty [/mm] , dann kann die Dimensionsformel ja nicht erfüllt werden:
dimV = dim(U+W)
Denn wenn dimV= [mm] \infty [/mm] , dann muss dim(U+W)= [mm] \infty [/mm] gelten.
Naja... im nachinein denke ich, dass das jetzt kein Widerspruch sein muss.
Aber es führt auf jeden Fall dazu, dass man die Dimensionsformel nicht verwenden kann, da man ja auch nicht konkret mit [mm] \infty [/mm] rechnen kann.
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also ich habs eben versucht. hier mein lösungsweg:
Ich weiß, dass folgendes gelten muss:
U={ [mm] f_U \in [/mm] V | [mm] f_U \equiv [/mm] 0 } //Also mit [mm] f_U \equiv [/mm] 0 meine ich die Nullfkt.
Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiß wie ich zeigen soll, dass die
Nullfunktion das einzige Element von [mm] U\cap [/mm] W ist. ???
Muss ich da ein LGS aufstellen?
Weiterhin hab ich dann versucht zu zeigen, dass U+W=V gilt:
Alle f [mm] \in [/mm] V sind darstellbar als [mm] f_U+f_W=f [/mm] , denn jede Abbildung lässt sich schreiben als
[mm] f(z_i)=\alpha u_i [/mm] bzw. [mm] f(x_i)=\beta w_i [/mm]
[mm] [\alpha, \beta \in \IR]
[/mm]
Also:
[mm] f=f_U+f_W \gdw v=\alpha u_i [/mm] + [mm] \beta w_i [/mm] mit v [mm] \in [/mm] V.
Ist das soweit in Ordnung?
Wie sieht es mit dem Schnitt aus? Wie zeige ich sowas?
Danke vielmals!
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Hallo,
ist Dein "Komplement" ein Untervektorraum? Hast Du das geprüft? Welches Element ist im Untervektorraum unverzichtbar?
Gruß v. Angela
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Upsala! Ja, habs geprüft, aber vergessen zu erwähnen.
U ist ein Untervektorraum von V, denn 0 [mm] \in [/mm] U.
Habe dann auch die 3 UVR-Axiome geprüft und gezeigt, dass sie gelten.
Also ist U ein Unterraum von V.
Wie sieht es mit dem Rest aus?
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Kann mir denn keiner antworten?
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Hallo,
wenn Du Rückfragen hast, dann stell sie als Fragen (rotes Kästchen) und nicht als Mitteilung. so kann st Du sicher sein, daß sie von allen gesehen werden - und brauchst nicht nachzufragen.
> Upsala! Ja, habs geprüft, aber vergessen zu erwähnen.
>
> U ist ein Untervektorraum von V, denn 0 [mm]\in[/mm] U.
Und genau das stimmt nicht.
Was meinst Du eigentlich mit "0"?
Zu prüfen ist ja, ob die Null von V auch in U liegt. Und was ist die Null im VR der Funktionen?
> Habe dann auch die 3 UVR-Axiome geprüft und gezeigt, dass
> sie gelten.
> Also ist U ein Unterraum von V.
>
>
> Wie sieht es mit dem Rest aus?
Tja... Folglich nicht so gut...
Gruß v. Angela
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ich dachte mir folgendes:
in der Menge ist ja f(z)=0 . Also die 0 ist drin....
Aber so wie ich das jetzt sehe geht es um eine andere 0, nämlich die Nullfunktion und die ist nicht enthalten.
Und da es kein Unterraum ist, kann ich auch kein Komplement von W in V bilden, richtig?
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> ich dachte mir folgendes:
>
> in der Menge ist ja f(z)=0 . Also die 0 ist drin....
>
> Aber so wie ich das jetzt sehe geht es um eine andere 0,
> nämlich die Nullfunktion und die ist nicht enthalten.
>
> Und da es kein Unterraum ist, kann ich auch kein Komplement
> von W in V bilden, richtig?
Moment!
irgendwas geht durcheinander.
Wir haben den VR der Funktionen, von welchem ein Unterraum W gegeben war. Dessen Unterrumeigenschaften hattest Du gezeigt.
Danach brachtest Du eine Menge U. Ich habe Dich darauf gestoßen, daß Dein U überhaupt kein Vektorraum ist.
Der Schluß, den man hieraus ziehen kann, ist, daß die von Dir auf den Markt geworfene menge U kein Komplement von W in V ist.
Daraus zu schließen, daß W kein Komplement in V hat, ist allerdings nicht richtig.
Der richtige Schluß ist: Du mußt Dich neu auf die Suche nach einem Komplement machen.
Gruß v. Angela
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