Komplementäre Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie ob [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] komplementäre Unterräume des [mm] R^4 [/mm] sind.
[mm] U_{1} [/mm] := < ( 1 / 0 / -1 / 1 ), ( 0 / 2 / 3 / 0 ) , ( 1 / 0 / 1 / 0 ) >
[mm] U_{2} [/mm] := < ( 1 / 1 / 1 / 1 ) > |
Hallo!
Meine Frage zu dieser Aufgabe: Wie gehe ich hier vor, bzw welche Schritte muss ich im Allgemeinen bei einer solchen Aufgabe durchführen?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 13.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Rotespinne!
Komplementäre Unterräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] eines Vektorraums V sind ja folgendermaßen definiert:
[mm] $U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] und
[mm] $U_1 \oplus U_2 [/mm] = V$
Das heißt, du musst erstens untersuchen, welche Elemente deine beiden Räume gemeinsam haben und zweitens ob sie den ganzen [mm] $\IR^4$ [/mm] aufspannen.
Ersteres machst du indem du ein beliebiges Element aus [mm] U_1 [/mm] gleich einem beliebigen Element aus [mm] U_2 [/mm] setzt, und die Lösungsmenge betrachtest.
In deinem Fall sieht das so aus:
[mm] $\alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \delta [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
Wenn die Lösungsmenge ungleich der Nullmenge ist, sind die beiden Räume schonmal nicht komplementär.
Wenn die Lösungsmenge Null ist, ist die erste Bedingung erfüllt. Nun musst du noch untersuchen, ob die direkte Summe der beiden Unterräume ganz V, in deinem Fall also der ganze [mm] $\IR^4$ [/mm] ist (das die Summe direkt ist, hast du ja jetzt auch schon gezeigt). Du musst also einen beliebigen Vektor aus [mm] $\IR^4$ [/mm] nehmen und versuchen durch die Summe von Elementen aus [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] darzustellen. Hier also:
[mm] $\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=\alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \delta [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
Wenn hierbei für beliebige a, b, c, d Lösungen für [mm] $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] existieren, kann also jeder Vektor aus [mm] $\IR^4$ [/mm] als Summe von Vektoren aus [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] dargestellt werden. Dann sind die beiden Unterräume komplementär.
Ich hoffe, das hilft dir weiter 
Gruß taura
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