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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Komplementärer Unterraum
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Komplementärer Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Do 16.06.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Bestimmen Sie zum Lösungsraum U der linearen homogenen Gleichung x-y-z=0 einen komplementären Unterraum U' im [mm] \IR^{3}, [/mm] das heißt: U + U' = [mm] \IR^{3}, [/mm] U [mm] \cap [/mm] U' ={ [mm] \vec{0} [/mm] }



Hallo,

ich habe folgendes versucht:
Wir haben x-y-z=0
daraus folgt, dass x = y+z ist
dies setzen wir ein: (y+z)-y-z = 0
[mm] \gdw [/mm] y+z - y -z = 0
[mm] \gdw [/mm] y-y = 0
y und z sind also beliebig.

das bedeutet:
[mm] \vektor{y+z \\ y \\ z } [/mm] y,z [mm] \in \IR [/mm]

Also:
y* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + z [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Jetzt muss es aber weitergehen.

In der Aufgabe steht nämlich U+U' = [mm] \IR^{3} [/mm]

Ich habe aber nur die 2 Vektoren, brauche also noch einen Vektor, um [mm] \IR^{3} [/mm] erzeugen zu können.
der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] würde doch gehen, oder?

Denn a [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + b [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + c [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]

Alle Skalare, also a,b,c müssten null sein, damit der Nullvektor rauskommt, also linear unabhängig und das ist hier der Fall: a = b = c = 0

Kann ich das so machen, oder bin ich auf dem Holzweg?

Denn in der Lösung steht der Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] , aber mein Vektor, also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] erfüllt auch die Forderung, dass es lin. unabhängig ist.

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Komplementärer Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Do 16.06.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie zum Lösungsraum U der linearen homogenen
> Gleichung x-y-z=0 einen komplementären Unterraum U' im
> [mm]\IR^{3},[/mm] das heißt: U + U' = [mm]\IR^{3},[/mm] U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

U' ={ [mm]\vec{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }
>  
>
> Hallo,
>  
> ich habe folgendes versucht:
> Wir haben x-y-z=0
>  daraus folgt, dass x = y+z ist
> dies setzen wir ein: (y+z)-y-z = 0
> [mm]\gdw[/mm] y+z - y -z = 0
>  [mm]\gdw[/mm] y-y = 0
>  y und z sind also beliebig.
>
> das bedeutet:
>  [mm]\vektor{y+z \\ y \\ z }[/mm] y,z [mm]\in \IR[/mm]
>
> Also:
>  y* [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + z [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Jetzt muss es aber weitergehen.
>  
> In der Aufgabe steht nämlich U+U' = [mm]\IR^{3}[/mm]
>  
> Ich habe aber nur die 2 Vektoren, brauche also noch einen
> Vektor, um [mm]\IR^{3}[/mm] erzeugen zu können.
>   der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] würde doch gehen, oder?
>  
> Denn a [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + b [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + c
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>  
> Alle Skalare, also a,b,c müssten null sein, damit der
> Nullvektor rauskommt, also linear unabhängig und das ist
> hier der Fall: a = b = c = 0
>
> Kann ich das so machen,


Ja


> oder bin ich auf dem Holzweg?

Nein.


>
> Denn in der Lösung steht der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> , aber mein Vektor, also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] erfüllt auch
> die Forderung, dass es lin. unabhängig ist.

So ist es.

FRED

>  
> Vielen Dank im Voraus.  


Bezug
                
Bezug
Komplementärer Unterraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Do 16.06.2016
Autor: pc_doctor

Alles klar, perfekt, vielen Dank für die Antwort.

Bezug
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