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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplex Differenzierbarkeit
Komplex Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplex Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 28.04.2013
Autor: Student18

Aufgabe
In welchen Punkten sind  folgende Funktionen komplex differenzierbar?Begründen Sie ihre Antwort wahlweise mit Hilfe eines Grenzprozesses oder mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

a.)   [mm] f_3:\IC \to \IC [/mm] , z  [mm] \to [/mm] z Re(z)

b.)   [mm] f_4:\IC \to \IC [/mm] , z  [mm] \to [/mm] Im z +i Re z

Hallo,

meine Rechnungen:

b.)

mit Grenzprozess

[mm] \limes_{h \to \0} \left( \bruch{f_4 (z+h)- f(z)}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{Im(z+h)+iRe(z+h)-Im z +iRe z}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{Im(h)+iRe(h)}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{((h-\bar h)/(2i))+i((h+\bar h)/(2))}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h-\bar h}{2ih} \right) [/mm] + [mm] \left( \bruch{h+\bar h}{2h} \right) [/mm]

so jetzt weiß ich nicht mehr weiter...Ist die Rechnung bis dahin richtig?

b.)mit Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:

u=Im z     v=i Re z
[mm] d_x [/mm] u=1 = [mm] d_y [/mm] v=1

[mm] f_4 [/mm] ist für [mm] z\in\IC [/mm]  komplex differenzierbar.


a.) mit Grenzprozess:

[mm] \limes_{h \to \0} \left( \bruch{f_3 (z+h)- f(z)}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{z+h Re (z+h) -z Re(z)}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h Re h}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h (h+\bar h)/2}{h} \right) [/mm]

[mm] =\limes_{h \to \0} \left( \bruch{ (h+\bar h)}{2} \right) [/mm]

hier weiß ich auch nicht mehr weiter...Ist diese Rechnung bis dahin richtig?

a.) mit Cauchy_Riemann-Differentialgleichungen:

u=z Re z
v=0

[mm] d_x [/mm] u=1 [mm] \ne d_y [/mm] v=1

[mm] f_3 [/mm]  ist für kein [mm] z\in\IC [/mm]  komplex differenzierbar


Sind die Rechnungen soweit richtig? Wie muss ich weitermachen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Grüße


        
Bezug
Komplex Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 28.04.2013
Autor: Student18

im Grenzprozess:

h geht gegen 0

Bezug
        
Bezug
Komplex Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 So 28.04.2013
Autor: Student18

Hallo,

Könnte mal bitte jemand überprüfen, ob mein Rechenweg soweit richtig ist!!!

gruß

Bezug
                
Bezug
Komplex Differenzierbarkeit: "Anstand"...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 So 28.04.2013
Autor: Marcel

Hallo,
  

> Könnte mal bitte jemand überprüfen, ob mein Rechenweg
> soweit richtig ist!!!

erinnerst Du Dich?

    [mm] $\bullet$[/mm]  https://matheraum.de/codex#freundlich

    [mm] $\bullet$[/mm]  https://matheraum.de/codex#faelligkeit

Würdest Du auch zu Deinem Prof./Dozenten und Übungsleiter gehen und
den "so anpflaumen" mit Deinem Anliegen?

Wenn später noch keiner drübergeguckt haben sollte, dann schau' ich's mir
vielleicht mal an...

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Komplex Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Di 30.04.2013
Autor: rainerS

Hallo!

> In welchen Punkten sind  folgende Funktionen komplex
> differenzierbar?Begründen Sie ihre Antwort wahlweise mit
> Hilfe eines Grenzprozesses oder mit Hilfe der
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
>  
> a.)   [mm]f_3:\IC \to \IC[/mm] , z  [mm]\to[/mm] z Re(z)
>  
> b.)   [mm]f_4:\IC \to \IC[/mm] , z  [mm]\to[/mm] Im z +i Re z
>  Hallo,
>  
> meine Rechnungen:
>  
> b.)
>  
> mit Grenzprozess
>  
> [mm]\limes_{h \to \0} \left( \bruch{f_4 (z+h)- f(z)}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{Im(z+h)+iRe(z+h)-Im z +iRe z}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{Im(h)+iRe(h)}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{((h-\bar h)/(2i))+i((h+\bar h)/(2))}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h-\bar h}{2ih} \right)[/mm] +
> [mm]\left( \bruch{h+\bar h}{2h} \right)[/mm]

Das hast du im letzten Schritt falsch gerechnet, h fällt ganz aus dem Zähler heraus:

  [mm] \bruch{((h-\bar h)/(2i))+i((h+\bar h)/(2))}{h} = -\bruch{ih}{2h}+\bruch{i\overline h}{2h} + \bruch{ih}{2h}+\bruch{i\overline h}{2h} = i\bruch{\overline h}{h}[/mm]

>  
> so jetzt weiß ich nicht mehr weiter...Ist die Rechnung bis
> dahin richtig?
>  
> b.)mit Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:
>  
> u=Im z     v=i Re z
>  [mm]d_x[/mm] u=1 = [mm]d_y[/mm] v=1

Nein. Du schreibst z als $x+iy$, damit ist

u =Im z=y, v = i Re z = ix

und damit [mm] $u_x=v_y$, [/mm] aber [mm] $u_y \not= -v_x$, [/mm] außer für z=0.


>  
> [mm]f_4[/mm] ist für [mm]z\in\IC[/mm]  komplex differenzierbar.

Falsch.

>  
>
> a.) mit Grenzprozess:
>  
> [mm]\limes_{h \to \0} \left( \bruch{f_3 (z+h)- f(z)}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{z+h Re (z+h) -z Re(z)}{h} \right)[/mm]

Klammer vergessen:

   [mm] \left( \bruch{\red{(}z+h \red{)}Re (z+h) -z Re(z)}{h} \right)[/mm]

>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h Re h}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{h (h+\bar h)/2}{h} \right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{h \to \0} \left( \bruch{ (h+\bar h)}{2} \right)[/mm]
>  
> hier weiß ich auch nicht mehr weiter...Ist diese Rechnung
> bis dahin richtig?
>  
> a.) mit Cauchy_Riemann-Differentialgleichungen:
>  
> u=z Re z
>  v=0

$ [mm] f_3 [/mm] = z Re z = (x+iy)x$, also: $u = Re [mm] f_3 [/mm] =  [mm] x^2 [/mm] $, $v = Im [mm] f_3 [/mm] =  xy $ .

   Viele Grüße
      Rainer

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