Komplexaufgabe zu E-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mo 08.01.2007 | | Autor: | cfe0705 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und g durch:
f(x)= [mm] \bruch{1}{4} e^{x} [/mm] - 2 [mm] e^{-x} [/mm] und g(x)=2 [mm] e^{-x}
[/mm]
Das Schaubild von f sei [mm] K_{f} [/mm] , das Schaubild von g [mm] K_{g}
[/mm]
a) Untersuchen Sie [mm] K_{f} [/mm] auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie [mm] K_{f} [/mm] und [mm] K_{g} [/mm] für -0,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,5 in ein gemeinsames Achsenkreuz ein.
b) [mm] K_{f} [/mm] schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden x=ln 2 eine Fläche ein. Berechnen Sie diesen.
c) Der Punkt P(u/v) mit u>0 auf dem Schaubild von g bestimmt zusammen mit den Punkten O(0/0), Q(u/0) und R(0/v) ein Viereck OQPR.
Durch Rotation dieses Vierecks um die x-Achse entsteht ein Drehkörper. Für welchen Wert von u wird das Volumen dieses Körpers extremal?
Bestimmen Sie die Art des Extremums sowie seinen Wert.
d) Eine Population besteht heute aus 30 150 Individuen. Vor 2 Jahren waren es noch 44 980.
Man geht davon aus, dass der Bestand exponentiell abnimmt.
Wann werden vom heutigen Bestand nur noch 10% übrig sein?
Wann wird die Abnahme innerhalb eines Jahes erstmals weniger als 1500 Individuen betragen? |
Also Aufgabe a) hab ich schon gelöst. Die Ableitungen von f(x) sind abgesehen von dem Minus eigentlich gleichbleibend, oder?
[mm] S_{y} [/mm] ist (0/ [mm] \bruch{-7}{4} [/mm] ). Extrempunkte sind nicht vorhanden und der Wendepunkt ist gleich die Nullstelle ( [mm] \bruch{ln 8}{2} [/mm] / 0).
Bei den anderen 3 Aufgabenpunkten hab ich dann Probleme. Kann mir da bitte jemand helfen? Vielen Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a ist richtig, ln8=3*ln2 also Nullstelle bei 1,5*ln2, wichtig wegen b)
b)hier musst du einfach von x=0 bis x=ln2 f integrieren.
c) am besten aufzeichnen,P(u,g(u)) g(u)=2e^(-u) ist der Radius des Grundkreises eines Zylinders, die Höhe ist u. volumen ausrechen, ableiten usw.
d)Ansatz: [mm] N(t)=N(0)*e^{-k*t}
[/mm]
N(0) und N(-2) ist bekannt, dadurch k berechnen.
dann t für N(t)=0,1*N(0) berechnen (10%)
Abnahme=Änderung/Zeit=Ableitung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 09.01.2007 | | Autor: | cfe0705 |
Okay also danke erstmal für die Tipps, aber ich hab jetzt trotzdem nochmal ein paar Fragen. Bei b) hab ich den Flächeninhalt [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus. Stimmt das? Das kommt mir so wenig vor.
und bei c) ist u ebenfalls [mm] \bruch{1}{4} [/mm] . Das heißt ich hab beim Volumen dann raus V= [mm] \bruch{ \pi }{ \wurzel{e} } [/mm] . Ist das richtig?
Mit d) hab ich dann doch noch ein paar Probleme. Erstmal habe ich hier für k= [mm] \bruch{2249}{3015} [/mm] . Das kommt mir ein bisschen merkwürdig vor, da ich dann für t, also die Zahl mit der ich die 10% berechne, ca. -7,855 rauskriege. Das würde ja heißen, dass das vor mehr als 7 Jahren war, aber das kann ja nich sein. Außerdem hab ich noch nicht ganz verstanden, wie man den letzten Teil der Aufgabe berechnet (also das mit der Abnahme innerhalb eines Jahres weniger als 1500).
Danke im Vorraus schon für die Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay also danke erstmal für die Tipps, aber ich hab jetzt
> trotzdem nochmal ein paar Fragen. Bei b) hab ich den
> Flächeninhalt [mm]\bruch{1}{4}[/mm] raus. Stimmt das? Das kommt
> mir so wenig vor.
ich hab für das Integral -3/4 raus, also 3/4 für die Fläche. Was hast du gerechnet? Wenn du nicht auf 0,75 kommst schreib deinen Rechenweg.
> und bei c) ist u ebenfalls [mm]\bruch{1}{4}[/mm] . Das heißt ich
> hab beim Volumen dann raus V= [mm]\bruch{ \pi }{ \wurzel{e} }[/mm] .
> Ist das richtig?
Nein ich hab u=1/2 raus.
> Mit d) hab ich dann doch noch ein paar Probleme. Erstmal
> habe ich hier für k= [mm]\bruch{2249}{3015}[/mm] . Das kommt mir ein
> bisschen merkwürdig vor, da ich dann für t, also die Zahl
> mit der ich die 10% berechne, ca. -7,855 rauskriege. Das
> würde ja heißen, dass das vor mehr als 7 Jahren war, aber
> das kann ja nich sein.
Du hast doch [mm] N(-2)/N(0)=e^{2k} [/mm] Zahlen einsetzen, ln bilden ergibt k=0,2.
aber auch mit deinem k, das ja neg. im Exponenten steht, kannst du keine neg. Zeit rauskriegen, denn die fkt. [mm] e^{-kt} [/mm] wird doch bei negativerem x immer größer! du hast [mm] 0,1*N0=N0*e^{-kt} [/mm] also ln0,1=-kt t=-ln0,1/k und da k>0 und ln0,1<0 ist ist t positiv.
> Außerdem hab ich noch nicht ganz
> verstanden, wie man den letzten Teil der Aufgabe berechnet
> (also das mit der Abnahme innerhalb eines Jahres weniger
> als 1500).
N'(t) berechnen, wann ist es >-1500?
Gruss leduart
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