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Hallo zusammen. Ich habe eigentlich nur eine kurze und schnelle frage zu folgenden 2 AUfgaben:
a) geben sie die Lösung in der Form a+bi an: [mm] (1-i)^{12}
[/mm]
[mm] b)z_0 [/mm] sei eine Lösung der Gleichung [mm] z^{4}+w=0. [/mm] Ermitteln Sie w. Bestimmen SIe dann alle weiteren Lösungen der Gleichung
zu a) Ich hätte jetzt den Ansatz gemacht, dass ganze auszumultiplizieren. ALlerdings muss ich erkennen, dass das ganze ganz schön Aufwendig ist mit SIcherheit Fehler mit sich bringt, wenn man sich nicht gut genug in dem ganzen Zahlendjungel konzentriert  . Kennt ihr einen einfacheren Lösungsweg???
Mit freeundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
> Hallo zusammen. Ich habe eigentlich nur eine kurze und
> schnelle frage zu folgenden 2 AUfgaben:
> a) geben sie die Lösung in der Form a+bi an: [mm](1-i)^{12}[/mm]
> [mm]b)z_0[/mm] sei eine Lösung der Gleichung [mm]z^{4}+w=0.[/mm] Ermitteln
> Sie w. Bestimmen SIe dann alle weiteren Lösungen der
> Gleichung
>
> zu a) Ich hätte jetzt den Ansatz gemacht, dass ganze
> auszumultiplizieren. ALlerdings muss ich erkennen, dass das
> ganze ganz schön Aufwendig ist mit SIcherheit Fehler mit
> sich bringt, wenn man sich nicht gut genug in dem ganzen
> Zahlendjungel konzentriert . Kennt ihr einen einfacheren
> Lösungsweg???
ja, in der Tat gibt es einen eleganteren Lösungsweg. Voraussetzung:
Du weißt, dass jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|=1$ eine Darstellung der Form
[mm] $z=e^{i*\phi}$ [/mm] mit einem $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] 2\pi$
[/mm]
hat (wozu man wissen muss:
[mm] $(\*)$ $e^{i\phi}=\cos(\phi)+i*\sin(\phi)$ [/mm] für [mm] $\phi \in \IR$) [/mm]
und weitere Voraussetzung:
Du kennst Dich mit [mm] $\exp(.)$ [/mm] aus.
Damit gilt dann:
[mm] $1-i=|1-i|*e^{i*\phi}$ [/mm] mit einem geeigneten $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] 2\pi$ [/mm] (konkret: später!).
Damit geht es dann einfacher, denn:
[mm] $(\*\*)$ $(1-i)^{12}=\left(|1-i|*e^{i*\phi}\right)^{12}=|1-i|^{12}*e^{i*12\phi}$
[/mm]
Ich behaupte hierbei nun:
Die konkreten Werte sind [mm] $|1-i|=\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\phi=\frac{7}{4}*\pi$. [/mm] Ist Dir das klar?
Zudem:
Bei [mm] $e^{i*12\phi}$ [/mm] hast Du damit [mm] $12\phi$ [/mm] konkret in der Hand (das [mm] $\phi$ [/mm] von oben einsetzen), und kannst dann wieder [mm] $(\*)$ [/mm] benutzen, um bei [mm] $(\*\*)$ [/mm] die komplexe Zahl in der algebraischen (bzw. kartesischen) Form anzugeben.
Alternativ kann man natürlich auch
[mm] $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k y^{n-k}$
[/mm]
mit $x=1$, $y=-i$ und $n=12$ benutzen. Ist aber etwas mehr (unnötiger) Rechenaufwand, und daher unschöner.
Bei b):
Weil [mm] $z_0$ [/mm] die Gleichung löst, muss [mm] $w=-(z_0)^4$ [/mm] sein. Daher kann man die Gleichung nun schreiben als:
[mm] $z^4-(z_0)^4=0$
[/mm]
Insgesamt kann man das umschreiben zu
[mm] $(z^2-(z_0)^2)*(z^2+(z_0)^2)=0$ [/mm] bzw.
[mm] $((z-z_0)*(z+z_0))*((z+i*z_0)*(z-i*z_0))=0$
[/mm]
Ist das alles für Dich nachvollziehbar? Wie lauten damit alle Lösungen der Gleichung [mm] $z^4-w=0$?
[/mm]
P.S.:
Auch hier hätte man übrigens den Ansatz
[mm] $z_0=|z_0|*e^{i*\phi}$ [/mm] mit einem geeigneten $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] 2\pi$
[/mm]
wählen können, wobei man das [mm] $\phi$ [/mm] hier aber nicht konkreter angeben kann (da man [mm] $z_0$ [/mm] ja nicht konkret in der Hand hat) und damit arbeiten können. Oben bin ich quasi das ganze nur algebraisch mit der dritten binomischen Formel angegangen, wobei man dabei zudem
[mm] $a^2+b^2=a^2-(-b^2)=a^2-(i^2b^2)=a^2-(i*b)^2$ [/mm]
erkennen sollte.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Verwende hier die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel:
[mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] (x+i*y)^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$
[/mm]
mit $r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] und [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Alles klar das klappt. Aber woran erkenne ich, wann jich die ganzen verschiedenen Formeln anwenden muss??? Also jetzt z.B. Moivre
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Also ich finde, dass dieses Thema Komplexe Zahlen seinen Namen echt verdient hat (Komplex )
Ich habe wirklich ein kleines Problem mit komplexen Zahlen. Und ich würde es wirklich sehr schätzen, wenn mir jmd. kurz und knapp die einzelnen Darstellungsformen (Polarkoordinaten, kartesisches Koordinatensystem...) Und die nützlichen FOrmeln (Euler, Moivre...) mal erklären könnte. Ich habe dazu nun wirklich schon etliche Seiten durchgeblättert werde aber nicht so richtig schlau aus alle dem!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Wie Du selber schreibst, ist das Thema ziemlich "komplex" ... aber das gilt auch für derartige gewünschte Erklärungen.
Bitte stelle doch konkrete Fragen, was genau unklar ist. Einen guten Überblick habe ich Dir ja oben mit diesem Link bereits gegeben.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
was ist unklar? Die de Moivre-Formel kann man sich sehr leicht selbst herleiten:
Vorkenntnisse, die Du brauchst oder Dir aneignen solltest:
1.) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$: $e^{i*x}=\cos(x)+i*\sin(x)$ [/mm]
(Evtl. Zusatzaussage:
$f: [mm] [0,2\pi) \to \{z \in \IC: |z|=1\}$ ($=\partial \mathbb{D}$) [/mm] definiert durch [mm] $f(x)=\exp(i*x)$ [/mm] ($0 [mm] \le [/mm] x < 1$) ist bijektiv. Beachte, dass [mm] $\exp(i*x)=e^{i*x}$, [/mm] das sind nur zwei Notationen für das gleiche.)
2.) [mm] $\exp(w+z)=\exp(w)*\exp(z)$ [/mm] für alle $w,z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Denn damit folgt:
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $(\cos(x)+i*\sin(x))^n \underbrace{=}_{\mbox{wegen }1.)}(\exp(i*x))^n=\produkt_{k=1}^{n} \underbrace{\exp(i*x)}_{\mbox{unabhängig von }k} \underbrace{=}_{\mbox{wegen }2.)}\exp\left(\sum_{k=1}^n i*x\right)=\exp(n*(i*x))=\exp(i*(n*x))\underbrace{=}_{\mbox{wegen }1.)}\cos(n*x)+i*\sin(n*x)$
[/mm]
Dass man ein beliebiges $z [mm] \in \IC$ [/mm] schreiben kann als:
[mm] $z=|z|*e^{i*\phi}$, [/mm] kannst Du Dir auch mit Loddars Link und 1.) klarmachen:
Denn:
Für $z=0$ ist $|z|=0$, der Fall ist trivial.
Sei $z [mm] \not=0$ [/mm] (also $z=x+i*y$ mit $x [mm] \not=0$ [/mm] oder $y [mm] \not=0$; [/mm] oder in Koordinatendarstellung: $z=(x,y) [mm] \not=(0,0)$).
[/mm]
Zeichne nun $z=x+i*y$ ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] in die komplexe Zahlenebene. Nun zeichne den Einheitskreis um $0=0+i*0$ in die komplexe Zahlenebene (also einen Kreis mit Radius $1$ um $(0,0)$). Betrachte dann den Strahl, der von der komplexen $0$ ausgeht (also in Koordinatendarstellung: ausgehen soll der Strahl vom Ursprung $(0,0)$) und zudem durch $z$ läuft (der Strahl soll also den Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$ enthalten). Dieser Strahl schneidet den Einheitskreis an genau einer Stelle, nennen wir die Zahl mal [mm] $z_0=x_0+i*y_0$ [/mm] (d.h. der Punkt hat die Koordinaten [mm] $(x_0,y_0)$). [/mm] Wegen [mm] $|z_0|=1$ [/mm] kannst Du dann $1.)$ darauf anwenden, also [mm] $z_0=\exp(i*\phi)$ [/mm] mit einem [mm] $\phi \in [0,2\pi)$ [/mm] schreiben. Und geometrisch ist nun klar:
[mm] $z=|z|*z_0=|z|*\exp(i*\phi)$
[/mm]
Das ganze kannst Du auch nochmal mit Loddars Link nacharbeiten, das [mm] $\phi$ [/mm] ist dort schön zu sehen, es heißt nur [mm] $\varphi$.
[/mm]
Also:
Das ganze ist eigentlich sehr schnell elementargeometrisch klar, wenn man die obigen Kenntnisse 1.) und 2.) hat.
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal. Also den Satz von moivre habe ich nun ganz gut verstanden. Allerdings habe ich noch eine Frage:,,Ist es eigentlich egal, nach welcher Formel ich das berechne??? Also ob ich das nun mit [mm] z^{n}=|z|\*e^{in\phi}, [/mm] oder mit [mm] z^{n}=|z|(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm] berechne??? Wenn ja, dann würde ich vielleicht immer zweitere Formel verwenden. Sagt mir irgendwie mehr zu. weiß auch nicht warum.''
Dann habe ich allerdings noch eine weitere wichtige Frage:,,Sei [mm] z=e^{\bruch{i\pi}{2}}(\wurzel{2}-i\wurzel{2})^{6}. [/mm] Stellen Sie z in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten dar.
An diese 2. Aufgabe traue ich mich noch nicht sor ichtig ran. Ich habe hier ebenfalls eine Formel mit dem cosinus und sinus gefunden. Allerdings habe ich ja inder AUfgae von vornherein die exponentialform gegeben. Könnte mir hier bitzte jmd. helfen???
Dankeschön schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Hallo domenigge135,
> Hallo nochmal. Also den Satz von moivre habe ich nun ganz
> gut verstanden. Allerdings habe ich noch eine Frage:,,Ist
> es eigentlich egal, nach welcher Formel ich das berechne???
> Also ob ich das nun mit [mm]z^{n}=|z|\*e^{in\phi},[/mm] oder mit
> [mm]z^{n}=|z|(cos(n\phi)+isin(n\phi))[/mm] berechne??? Wenn ja, dann
> würde ich vielleicht immer zweitere Formel verwenden. Sagt
> mir irgendwie mehr zu. weiß auch nicht warum.''
[mm]z^{n}=z^{n}=|z|^{\red{n}}(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi)\right)[/mm]
Die beiden Formeln sind äquivalent. Kannst also jede Formel verwenden.
>
> Dann habe ich allerdings noch eine weitere wichtige
> Frage:,,Sei
> [mm]z=e^{\bruch{i\pi}{2}}(\wurzel{2}-i\wurzel{2})^{6}.[/mm] Stellen
> Sie z in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten
> dar.
>
> An diese 2. Aufgabe traue ich mich noch nicht sor ichtig
> ran. Ich habe hier ebenfalls eine Formel mit dem cosinus
> und sinus gefunden. Allerdings habe ich ja inder AUfgae von
> vornherein die exponentialform gegeben. Könnte mir hier
> bitzte jmd. helfen???
[mm]e^{i\bruch{\pi}{2}}=r_{1}*e^{i*\varphi_{1}}[/mm]
[mm]\wurzel{2}-i\wurzel{2}=r_{2}*e^{i*\varphi_{2}}[/mm]
Dann ist
[mm]z=\left(r_{1}*e^{i*\varphi_{1}}\right)*\left(r_{2}*e^{i*\varphi_{2}}\right)^6[/mm]
Jetzt solltest Du mit obigen Formeln weiterkommen.
>
> Dankeschön schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen
> domenigge135
Gruß
MathePower
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Gut alles klar. Ich hatte jetzt allerdings zu den Polarkoordinaten nur die trigonometrische Form gefunden. Also Formel z=r(cosj+isinj) und die kartesische Form wäre hierzun dann x=r(cosj) y=r(sinj). VIelleicht gibt es ja hierzu eine ähnliche Formel. Aber diese Formel wird mir wahrscheinlich nicht wirklich weiterhelfen oder??? Gibt es hierzu eventuell ebenfalls eine äquivalente Formel wie zur Moivre Formel??? Habe dazu leider keine weitere gefunden.
Mit freundlcihen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mi 26.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo domenigge
Mir scheint du hast nicht ganz verstanden, dass die Darstellung:
[mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] und
[mm] z=r*(cos\phi+i*sin\phi) [/mm] einfach dasselbe ist! das zweite lässt dich nur schneller als
z=x+iy schreiben.
aber [mm] e^{i\phi} [/mm] ist einfach nichts anderes als [mm] cos\phi+i*sin\phi [/mm] .
Du solltest dir angewöhnen komplexe Zahlen auch in der komplexen Ebene einzuzeichnen! und dir klar machen, das Multiplikation mit ner komplexen Zahl einfach ne Drehstreckung ist. D.h, wenn du z mit z1=a+ib multiplizierst wird der Winkel von z um den Winkel von z1 vergrößert, die Länge von z um die Länge von z1.
Die Darstellung [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] zerlegt also den "Pfeil" z in einen Einheitspfeil, der auf dem Einheitskreis liegt, [mm] z(t)=e^{it} 0\le \le 2\pi [/mm] ist der Einheitskreis.
r gibt dann an wie lang der Pfeil ist bzw [mm] z(t)=r*e^{it} [/mm] ist ein Kreis um 0 mit Radius r!
Andere Formeln gibt es nicht.
Gruss leduart
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