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Hallo ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
z [mm] \in \IC f(x)=z^2-4z+4iz=7i
[/mm]
Ich soll alle lösungen bestimmen und die Lösung in der Form a+bi angeben.
Ich wolte nun fragen, da es mir scheint, da ich so etwas wie eine quadratische Gleichung in einer Komplexen Zahlenebene erhalte, es mir möglich wäre, dass mit der p.q. Formel zu berechnen. Wenn ja, wie kann ich das anstellen bzw. wie sieht die p.q. Formel im komplexen Fall aus???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Du kannst hier die  p/q-Formel wie gehabt verwenden. Du musst halt Deine gleichung entsprechend in die Normalform [mm] $z^2+p*z+q [/mm] \ = \ 0$ bringen.
Gruß
Loddar
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Alles klar ich erhalte dann [mm] (2-2i)\pm\wurzel{(2-2i)^2+7i}=(2-2i)\pm\wurzel{-i}
[/mm]
Aber das ist ja noch nicht wirklich meine Lösung. WIe kann ich jetzt weiter machen???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Du kannst [mm] $\wurzel{-i}$ [/mm] wie folgt berechnen:
[mm] $$\wurzel{-i} [/mm] \ = \ [mm] (-i)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{\bruch{3}{2}\pi*i} \ \right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ ...$$
Nun die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Gruß
Loddar
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Super. Kannst du mir allerdings eventuell einen kleinen Gefallen tun??? Aus irgendeinem Grund kann ich die Seite die du verlinkt nicht so ganz entziffern. Das heißt ich kann sie öffnen allerdings zeigt der mir bei den Formeln irgendwie Hyroglyphen an 
Könntest du mir die Formel, welche du zuerst nennst also die in Exponentialform vielleicht mal zuschicken???
MFG domenigge135
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> Super. Kannst du mir allerdings eventuell einen kleinen
> Gefallen tun??? Aus irgendeinem Grund kann ich die Seite
> die du verlinkt nicht so ganz entziffern. Das heißt ich
> kann sie öffnen allerdings zeigt der mir bei den Formeln
> irgendwie Hyroglyphen an
>
> Könntest du mir die Formel, welche du zuerst nennst also
> die in Exponentialform vielleicht mal zuschicken???
Hallo,
die Moivre-Formel ist eine, die sich in vielen Büchern und gewiß auch im Internet an diversen Stellen findet.
Vielleicht investierst Du da nochmal 5 Minütchen. Das Tippen kostet uns nämlich auch Zeit und Mühe.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Du findest sie auch direkt im matheraum, wenn Du oben rechts bei "Wissen" klickst und etwas suchst.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Für $z \ = \ x+i*y$ gilt:
$$z \ = \ [mm] r*e^{\varphi*i} [/mm] \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$$
[/mm]
Dabei gilt: $r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm] (Quadranten beachten!)
Gruß
Loddar
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Alles klar habe etwas dazu gefunden. Wenn [mm] w_k=\wurzel[n]{r}\*e^{i\*\bruch{\pi}{n}} [/mm] richtig sein sollte. Aber wenn ich das halt alles einsetze was ich habe, dann erhalte ich [mm] w^2=-i=e^{-i\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
Allerdings brauch ich doch nun nur noch [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] in die Moivre Formel einsetzen oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Okay dann brauchte ich vielleicht nur noch eine einzige Information, Ich habe jetzt noch die Aufgebe:
[mm] z^3=2i
[/mm]
Ich mache das ja im Prinzip wie ebend. Also [mm] z^3=2i=\wurzel[3]{2}\*e^{i\bruch{\pi}{4}}. [/mm] Ich wollte das jetzt ganz normal wie die andere Aufgabe halt auch rechnen. Nur einfach [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] einsetzen geht wohl in diesem Fall nicht. Es wird verlangt, dass ich mein [mm] 2k\pi [/mm] noch dazu addiere. Warum muss ich das in diesem Fall machen und warum in dem Fall davor nicht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Bei der anwendung dermoivre-formel für die n-te Wurzel einer komplexen zahl musst Du immer den term [mm] $2k*\pi$ [/mm] addeiren - also auch bei der obiegen Aufgabe. Schließlich musst Du auch für die Wurzel [mm] $\wurzel{-i}$ [/mm] zwei Lösungswerte erhalten.
Gruß
Loddar
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