Komplexe DifFormen, Stokes < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G ein Gebiet in [mm] \IC. [/mm] Der Rand von G sei ein postiv orientierter geschlossener Pfad und [mm] \omega [/mm] eine auf [mm] \overline{A} [/mm] stetig differenzierbare 1-Form. Dann gilt
[mm] \integral_{\delta G}^{}{\omega} [/mm] = [mm] \integral_{G}^{}{d \omega} [/mm] |
In meiner VL zu komplexer analysis II kam dieser Satz vor, also der Satz von Stokes.
Leider ist hier nichts genaues zu den vorraussetzungen erwähnt, also ob es sich hierbei um eine komplexe differentialform handeln kann oder bloß um reelle.
Auch ist mir nicht so ganz klar, wie dieses Integral definiert ist -wird die differentialform komponentenweise integriert; also werden Real und Imaginärteil der DifForm als reelle DifFormen integriert?
Das Kurvenintegral auf der linken Seite ist wohl einfach ein komplexes Kurvenintegral, oder?
Vielen Dank für alle Antworten und Hinweise
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Ok, habe die Frage für mich beantwortet.
Man kommt zu vernünftigen Ergebnissen, wenn man das Integral über komplexe Differentialformen w komponentenweise definiert, also mittels I(w) = I(Re(w)) + i*I(Im(w))
Und da die äußere Ableitung [mm] \IC [/mm] - linear ist, erhält man recht einfach aus der reellen die komplexe Variante d. Satzes von Stoke.
Auch interessant ist, dass für Differentialformen w, die sich als fdz, wo f stetig mit komplexen werten ist (und dz = dx + idy ist), das Integral der Differentialform über das Bild einer stkw. glatten, doppelpunktfreien Kurve, mit dem komplexen Kurvenintegral von f über diese Kurve übereinstimmt (was die Definition w.o. sinnvoll macht).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 08.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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