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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Differenzierbarkeit
Komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Differenzierbarkeit: Wo ist die f komplex diffbar?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Fr 03.05.2024
Autor: F-Theoretikerin

Aufgabe
Sei $a>0$ reell. Sei $f$ gegeben durch $f: [mm] C\backslash\{0\}\rightarrow [/mm] C$ durch [mm] $f(z)=|z|^2+\frac{a^2}{|z|^2}$. [/mm]

Aufgabe: Bestimme alle Stellen $z$, an denen f komplex differenzierbar ist.

Hallo, ich würde die Differenzierbarkeit gerne mit der Cauchy-Riemann-DGL untersuchen. Ich habe herausgefunden, dass die Funktion auf die reellen Zahlen abbildet, d.h. $f(x+i*y)= u(x,y)+i*v(x,y)$ mit $v(x,y)=0$ und [mm] $u(x,y)=x^2+y^2+\frac{a^2}{x^2+y^2}$. [/mm]

Dann habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
[mm] $u_x=2x-a^2*\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}$ [/mm]
[mm] $u_y=2y-a^2*\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}$ [/mm]
[mm] $v_x=0$ [/mm] und [mm] $v_y=0$ [/mm]

Laut DGL müsste dann [mm] $u_x=0$ [/mm] und [mm] $u_y=0$ [/mm] gelten. Ich weiß aber nicht, wie ich das auflösen kann und finde nur die Lösung $x=y=0$, die aber ja ausgeschlossen ist.

Mich verwirrt, dass ich die Stellen suchen soll, IN DENEN f komplex differenzierbar ist. Ist der Weg bis hierhin richtig? Hat jemand einen Rat, wie es weiter geht? Dankeschön!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Fr 03.05.2024
Autor: fred97


> Sei [mm]a>0[/mm] reell. Sei [mm]f[/mm] gegeben durch [mm]f: C\backslash\{0\}\rightarrow C[/mm]
> durch [mm]f(z)=|z|^2+\frac{a^2}{|z|^2}[/mm].
>  
> Aufgabe: Bestimme alle Stellen [mm]z[/mm], an denen f komplex
> differenzierbar ist.
>  Hallo, ich würde die Differenzierbarkeit gerne mit der
> Cauchy-Riemann-DGL untersuchen. Ich habe herausgefunden,
> dass die Funktion auf die reellen Zahlen abbildet, d.h.
> [mm]f(x+i*y)= u(x,y)+i*v(x,y)[/mm] mit [mm]v(x,y)=0[/mm] und
> [mm]u(x,y)=x^2+y^2+\frac{a^2}{x^2+y^2}[/mm].
>  
> Dann habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
>  [mm]u_x=2x-a^2*\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>  [mm]u_y=2y-a^2*\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>  [mm]v_x=0[/mm] und [mm]v_y=0[/mm]
>  
> Laut DGL müsste dann [mm]u_x=0[/mm] und [mm]u_y=0[/mm] gelten. Ich weiß
> aber nicht, wie ich das auflösen kann und finde nur die
> Lösung [mm]x=y=0[/mm], die aber ja ausgeschlossen ist.
>  
> Mich verwirrt, dass ich die Stellen suchen soll, IN DENEN f
> komplex differenzierbar ist. Ist der Weg bis hierhin
> richtig? Hat jemand einen Rat, wie es weiter geht?
> Dankeschön!


Tipp

für $x [mm] \ne [/mm] 0$ liefert die erste Gleichung

[mm] x^2+y^2=a [/mm]


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Komplexe Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Di 07.05.2024
Autor: F-Theoretikerin

Danke fred97,
mit dem Tipp und meinem Ansatz habe ich es dann irgendwann hinbekommen. Danke!

Bezug
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