Komplexe E-Fkt. Wechselspannun < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 18.03.2024 | | Autor: | Spica |
| Aufgabe | Gegeben seien 2 Spannungen mit Asin(wt) und Bsin(wt+(phi)), also mit Phasenverschiebung (Haken über A und B lasse ich mal weg)
Nun lässt sich deren Überlagerung oder Addition mit Hilfe der komplexen e-Fkt. darstellen als [mm] Ae^{iwt}+Be^{iwt}e^{i(phi)} [/mm] = [mm] (A+Be^{i(phi)})e^{iwt}. [/mm] |
Im kartesischen KS ist diese Überlagerung dann doch darstellbar als Csin(wt+(alpha)). Schließlich habe ich in der Praxis doch immer nur reelle Werte und die kann ich doch nur im kartesischen KS ablesen.
Aber wie komme ich nun von [mm] (A+Be^{i(phi)})e^{iwt} [/mm] zu Csin(wt+(alpha)) bzw. zu C und alpha? Der Faktor vor e ist ja nun selber nicht mehr reell.
Gibt es Online-Rechner, die da ineinander umrechnen? Ich habe nichts gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Fr 22.03.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo spica,
der Zusammenhang, den Du sucht, der ist einfach über die Eulersche Formel gegeben mit
$$ [mm] {\rm e}^{j \varphi} [/mm] = [mm] \cos \varphi [/mm] + j [mm] \sin \varphi$$
[/mm]
Damit löst Du die e-Funktion in Real- und Imaginärteil auf und rechnest dann einfach weiter mit dem Pythagoras, da Imaginär- und Realteil senkrecht aufeinander stehen.
$$ A [mm] {\rm e }^{j \varphi_1} [/mm] + B [mm] {\rm e}^{j \varphi_2} [/mm] = A [mm] \cos \varphi_1 [/mm] + j A [mm] \sin \varphi_1 [/mm] + B [mm] \cos \varphi_2 [/mm] + j B [mm] \sin \varphi_2 [/mm] = A [mm] \cos \varphi_1 [/mm] + B [mm] \cos \varphi_2 [/mm] + j (A [mm] \sin \varphi_1 [/mm] + B [mm] \sin \varphi_2) [/mm] $$
Die resultierende Amplitude C ergibt sich dann mit dem alten Pythagoras zu
$$ C = [mm] \wurzel{(A \cos \varphi_1 + B \cos \varphi_2)^2 + (A \sin \varphi_1 + B \sin \varphi_2)^2} [/mm] $$
Den Tangens für den sich ergebenden Winkel [mm] \varphi [/mm] bekommst Du aus dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und das sind in diesem Fall der Imaginärteil und der Realteil.
Damit hast Du also
$$ [mm] \tan \varphi [/mm] = [mm] \bruch{A \sin \varphi_1 + B \sin \varphi_2}{A \cos \varphi_1 + B \cos \varphi_2}
[/mm]
Ein bisschen Rechnerei ist es also schon.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Sa 23.03.2024 | | Autor: | Spica |
Vielen Dank, Infinit!
Das war der entscheidende Tipp. Eigentlich naheliegend, aber da hatte ich ein Brett vor dem Kopf.
Ich habe jetzt mal ein konkretes Beispiel gemacht:
[mm] wt=\pi/3
[/mm]
[mm] phi=\pi/2
[/mm]
A=4
B=5
Also Überlagerung von [mm] 4sin(\pi/3) [/mm] und [mm] 5sin(\pi/3+\pi/2).
[/mm]
Also gleiche Frequenz [mm] wt=\pi/3, [/mm] aber phasenverschoben um [mm] \pi/2 [/mm] und unterschiedliche Amplituden 4 und 5.
Mit deinem Tipp konnte ich die Überlagerung in komplexer Schreibweise [mm] (4+5e^{i\pi/2})e^{i\pi/3} [/mm] wieder umrechnen. Als Ergebnis erhalte ich dann 6,4sin(1,94).
Da [mm] wt=\pi/3 [/mm] ist, muss allgemein gelten [mm] \pi/3+\alpha=1,94.
[/mm]
Damit ist [mm] \alpha [/mm] = 0,89. Alpha ist somit die Phasenverschiebung der Überlagerung gegenüber 4sin(wt).
Ich kann somit allgemein für die Überlagerung der beiden Fkt. 4sin(wt) und [mm] 5sin(wt+\pi/2) [/mm] schreiben:
6,4sin(wt+0,89) bzw. [mm] 6,4e^{i(wt+0,89)}
[/mm]
Ich nehme mit: Man erspart sich durch komplexe e-Fkt. erheblichen Rechenaufwand, aber kann wieder zurück rechnen, um reelle Werte zu erhalten, denn nur solche messe und wende ich in der Praxis an. Da hast du mir sehr geholfen, denn googeln und Leute fragen, die das vom Studium her wissen müssten, brachte leider wenig. 
Viele Grüße, Spica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Sa 23.03.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo spica,
ja, genau das ist der Grund für diese Schreibweise. Mit Hilfe des Eulerschen Satzes kannst Du dann auch ausrechnen, wie es mit der Summe zweier phasenversetzter Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplitude aussieht, die wieder als Sinusschwingung geschrieben werden sollen.
Die Vorgehensweise entspricht genau der, die ich Dir gezeigt habe, das Ergebnis lässt sich aber auch gleich hinschreiben.
Die Frage ist also, wie groß [mm] A\, {\rm und } \,\varphi [/mm] sind für den Ausdruck [mm] A_1 \sin (\omega t + \varphi_1) + A_2 \sin (\omega t + \varphi_2) [/mm]?
Da bekommt man dann folgendes raus:
[mm] A = \wurzel{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos (\varphi_2 - \varphi_1)} [/mm]
und
[mm] \tan \varphi = \bruch{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2 [/mm]
Du siehst sofort, wo diese Struktur herkommt, ob diese beiden Gleichungen aber "besser" zu handhaben sind als der oben gezeigte Weg, nun, das ist Geschmackssache.
Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 23.03.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo spica,
eine Sache aus der Netzwerktheorie will ich hier doch noch erwähnen, da sie den Einsatz der komplexen Signalbeschreibungen erklärt. Viele der Übertragungssysteme in der E-Technik sind linear und zeitinvariant. Linear bedeutet hier, dass die Frequenz des Ausgangssignals solch eines Systems der Frequenz des Eingangssignals entspricht, kurz gesagt, Sinus rein, Sinus raus. Dank Herrn Fourier gilt dies auch für die Summe von Eingangssignalen unterschiedlicher Frequenz. Es werden bei solchen Systemen keine neuen Frequenzen erzeugt. Zeitinvariant heißt nichts weiter, als dass die Übertragungsfunktion solch eines Systems sich nicht mit der Zeit ändert. Solche Systeme beitzen eine komplexe Übertragungsfunktion, es ändern sich "nur" Amplitude und Phase jeder einzelnen Schwingung. Schaltet man nun mehrere solcher Systeme hintereinander, so multiplizieren sich deren Übertragungsfunktionen. Die Gesamtübertragungsfunktion ändert für jede einzelne Frequenz, die im Eingangssignal existiert, deren Amplitude und deren Phase. Mit Hilfe des komplexen Rechnung ist solch eine Hintereinanderschaltung von Einzelsystemen einfacher zu berechnen als wenn ich mit Sinus- und Cosinusfunktionen einzeln rechne.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Sa 23.03.2024 | | Autor: | Spica |
Hallo Infinit,
noch mal danke für die weiteren Ergänzungen, die für mich die Sache weiter abrunden.
Grüße und schönen Sonntag morgen,
Spica
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Di 26.03.2024 | | Autor: | Spica |
Hallo Infinit,
nun bitte ich dich doch noch mal um Rat und Hilfe.
Wenn ich nämlich die Multiplikation ausführe von, sagen wir mal konkret:
[mm] 4sin(\pi/3)\*5sin(\pi/3+\pi/2), [/mm] so erhalte ich 8.65.
Das müsste sich doch auch schreiben lassen als:
[mm] 4e^{i\pi/3}\*5e^{i(\pi/3+\pi/2)}=20e^{i\pi*7/6}. [/mm] Und dann kann ich doch wieder [mm] 20sin(\pi*7/6) [/mm] formulieren. Aber da erhält man -10.
Kann es sein, dass sich die Multiplikation von Sinusfunktionen im Gegensatz zur Addition nicht über komplexe e-Funktionen rechnen lässt?
Beste Grüße,
Spica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 28.03.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo Spica,
Du hast Dir die Antwort zu Deiner Frage schon selbst gegeben. Bei der Addition zweier kompleyer Zahlen bleiben Real und Imaginärteil schön voneinander getrennt, bei der Multiplikation stimmt dies aber nicht mehr, da die Multiplikation der beiden Imaginärteile wieder einen Realteil ergibt. Schau mal hier:
$$ (a + [mm] jb)\cdot [/mm] (c+ jd) = ac + jad + jbc [mm] +j^2 [/mm] bd = ac-bd + j (ad + bc) $$
Da werden Real- und Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen ganz schön durcheinander gewirbelt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 28.03.2024 | | Autor: | Spica |
Danke, Infinit!
Dann habe ich das schon richtig interpretiert.
Beste Grüße und schöne Feiertage wünsche ich dir mit Ostereiern in einer großen Anzahl natürlicher Zahlen.
Spica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Fr 29.03.2024 | | Autor: | Infinit |
Gerne geschehen, spica.
Auch Dir ein schönes Osterfest und die Wünsche zu den Ostereiern in natürlicher Anzahl retourniere ich gerne. Ist dies nicht erfüllt, gibt es Rührei  .
Viele Grüße,
Infinit
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