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| Aufgabe | Beschreibe die Gestalt der Teilmenge der komplexen Ebene
[mm] A_1=\{ z \in \mathbb{C} : |z+1|+|z+1| \le 4 \} [/mm] |
Hallo Leute,
ich soll diese Teilmenge beschreiben, aber habe damit etwas Probleme. Normalerweise haben wir solche Aufgaben für Kreise gemacht und hatten dabei immer nur einen Betrag z.B.$ |z+1-1| [mm] \le [/mm] 10 $ , aber wenn ich das nach dem gleichen Verfahren hier anwende, komme ich am Ende zu einer Form, die mir keine Aussage bringt.
Mein Vorgehen bis jetzt:
[mm] A_1=\{ z \in \mathbb{C} : |z+1|+|z+1| \le 4 \}
[/mm]
$|x+yi-1|+|x+yi+1|=4$
$|x-1+yi|+|x+1+yi|=4$
[mm] $\sqrt{(x-1)^2+(yi)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(yi)^2}=4 [/mm] $
[mm] $(x-1)^2+(yi)^2+(x+1)^2+(yi)^2=16 [/mm] $
An dieser Stelle dachte ich noch es handelt sich vielleicht um einen Kreis und ich kann das zusammen, habe das aumultipliziert usw., aber kam schlussendlich auf:
[mm] $2x^2+2+2(yi)^2
[/mm]
Deswegen ist mein Vorgehen wohl falsch und ich es muss es anders lösen.Anscheinend handelt es sich um eine Ellipse, aber wie kann ich hierbei die Länge der Halbachsen usw. bestimmen damit ich das beschreiben kann?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
zunächst einmal: deine Rechnung legt nahe, dass du dich vertippt hast. Das heißt doch sicher
[mm]|z-1|+|z+1|\le{4}[/mm] ?
> Beschreibe die Gestalt der Teilmenge der komplexen Ebene
> [mm]A_1=\{ z \in \mathbb{C} : |z+1|+|z+1| \le 4 \}[/mm]
> Hallo
> Leute,
> ich soll diese Teilmenge beschreiben, aber habe damit etwas
> Probleme. Normalerweise haben wir solche Aufgaben für
> Kreise gemacht und hatten dabei immer nur einen Betrag z.B.[mm] |z+1-1| \le 10[/mm]
> , aber wenn ich das nach dem gleichen Verfahren hier
> anwende, komme ich am Ende zu einer Form, die mir keine
> Aussage bringt.
>
> Mein Vorgehen bis jetzt:
> [mm]A_1=\{ z \in \mathbb{C} : |z+1|+|z+1| \le 4 \}[/mm]
>
> [mm]|x+yi-1|+|x+yi+1|=4[/mm]
>
> [mm]|x-1+yi|+|x+1+yi|=4[/mm]
>
> [mm]\sqrt{(x-1)^2+(yi)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(yi)^2}=4[/mm]
>
> [mm](x-1)^2+(yi)^2+(x+1)^2+(yi)^2=16[/mm]
Der letzte Schritt ist grottenfalsch. Wenn du die linke Seite quadrierst, musst du die binomische Formel anwenden. Oder was würdest du hierzu sagen:
[mm] 5^2=13
[/mm]
Beweis:
[mm] 5^2=(2+3)^2=2^2+3^2=4+9=13
[/mm]
Dass dies Blödsinn ist, dürfte dir klar sein, auch wo der Blödsinn passiert? Aber genau den gleichen Fehler machst du auch.
Außerdem könntest du schon unter der Wurzel
[mm] (yi)^2=-y^2
[/mm]
nutzen.
>
> An dieser Stelle dachte ich noch es handelt sich vielleicht
> um einen Kreis und ich kann das zusammen, habe das
> aumultipliziert usw., aber kam schlussendlich auf:
>
> [mm]2x^2+2+2(yi)^2[/mm]
>
Das kann aus den o.g. Gründen nicht sein. Allerdings wird die richtige Lösung (algebraisch) ähnlich aussehen. Dein Term oben würde mit einer geeigneten positiven Zahl gleichgesetzt eine Hyperbel beschreiben.
Nach meinen Überlegungen - und meinem Zwischenresultat - sollte es eine Ellipse, genauer: eine Ellipse zusammen mit ihrem Inneren sein. Rechne es nochmals nach, aber richtig (dazu muss zweimal quadriert werden). Die 4. Potenzen von x und y sollten sich danach herausheben und wieder eine quadratische Ungleichung herauskommen
> Deswegen ist mein Vorgehen wohl falsch und ich es muss es
> anders lösen.Anscheinend handelt es sich um eine Ellipse,
> aber wie kann ich hierbei die Länge der Halbachsen usw.
> bestimmen damit ich das beschreiben kann?
Eine elementargeometrische Überlegung ist mir spontan auch keine eingefallen, obwohl es solche bei dieser Art von Aufgaben durchaus auch oft gibt. Die Halbachsen habe ich zur Kontrolle: die längere ist [mm] a=\wurzel{3}, [/mm] die kürzere ist b=2.
EDIT: falsche Halbachsenlänge korrigiert, richtige von reverend übernommen. 
Gruß, Diophant
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Vielen Dank für beide Antworten! Es handelte sich tatsächlich um einen Tippfehler. Die erste Lösungsmethode fand ich ziemlich schwierig und bei mir fällt da auch kein [mm] x^4 [/mm] weg.
Mein Lösungsweg:
[mm] $(\sqrt{(x-1)^2-y^2}+\sqrt{(x+1)^2-y^2}))^2 [/mm] =4 $
[mm] $(x-1)^2-y^2+2\Big(\big((x-1)^2-y^2\big)\big((x+1)^2-y^2)\big)\Big)+(x+1)^2-y^2=4$
[/mm]
[mm] $x^2-2x+1-y^2+2\Big(\big(x^2-2x+1-y^2\big)\big(x^2+2x+1-y^2\big)\Big)+x^2+2x+1-y^2=16$
[/mm]
[mm] $2x^2+2-2y^2+2\Big(x^4+2x^3+x^2-x^2y^2-2x^3-4x^2-2x+2xy^2+x^2+2x+1-y^2-x^2y^2-2xy^2-y^2+y^4\Big)=16$
[/mm]
[mm] 2x^2+2-2y^2+2(x^4+y^4-2x^2-2x^2y^2-2y^2+1)=16
[/mm]
[mm] 2(x^4+y^4-x^2-2x^2y^2-3y^2+2)=16
[/mm]
Wie macht man hier jetzt weiter? :-( Also ich habe das mehrmals überprüft und bei mir fällt nichts weg. Es wurde oben erwähnt, dass ich 2x quadrieren soll, aber das hier soll ich doch jetzt nicht nochmal quadrieren oder? Das wäre ja ein Term über eine ganze DIN A4 Seite.
Zu der 2. Lösung:
Die geometrische Interpretation in der gaußschen Zahlenebene ist für mich nachvollziehbar, aber ich weiß leider nicht ob sie für uns ausreichend ist, weil wir normalerweise immer eine Gleichung berechnet haben.
Wenn der 1. Lösungsweg irgendwie möglich sein sollte, könntet ihr mir noch einen Tipp geben wie es weitergeht??
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo nochmal,
da ist Dir bei der Rechnung und der Kontrolle aber noch etwas durchgegangen.
Wenn man so Wurzelgemüse hat, sieht das normalerweise so aus:
[mm] (\wurzel{a}+\wurzel{b})^2=c
[/mm]
[mm] \Rightarrow a+2\wurzel{a}\wurzel{b}+b=c^2
[/mm]
[mm] \Richtarrow 2\wurzel{ab}=c^2-a-b
[/mm]
...und jetzt halt nochmal quadrieren, um die Wurzel wegzubekommen.
Das Problem ist, dass da immer nur die Implikation [mm] \Rightarrow [/mm] steht und insbesondere die Gegenrichtung [mm] \Leftarrow [/mm] nicht unbedingt stimmt. Quadrieren ist halt keine perfekte Äquivalenzumformung. Deswegen braucht man hinterher noch eine Probe, und die Rechnerei geht dann oft erstmal so richtig los.
So, dann mal zu Deiner Rechnung:
> Vielen Dank für beide Antworten! Es handelte sich
> tatsächlich um einen Tippfehler. Die erste Lösungsmethode
> fand ich ziemlich schwierig und bei mir fällt da auch kein
> [mm]x^4[/mm] weg.
Klar. Noch nicht.
> Mein Lösungsweg:
> [mm](\sqrt{(x-1)^2-y^2}+\sqrt{(x+1)^2-y^2}))^2 =4[/mm]
>
> [mm](x-1)^2-y^2+2\Big(\big((x-1)^2-y^2\big)\big((x+1)^2-y^2)\big)\Big)+(x+1)^2-y^2=4[/mm]
Tja, hier fehlt die Wurzel. Das ist das Problem, und es zieht sich dann natürlich durch die ganze Rechnung. Richtig wäre:
[mm] \Rightarrow (x-1)^2-y^2+2\wurzel{\big((x-1)^2-y^2\big)\big((x+1)^2-y^2)\big)}+(x+1)^2-y^2=4
[/mm]
> [mm]x^2-2x+1-y^2+2\Big(\big(x^2-2x+1-y^2\big)\big(x^2+2x+1-y^2\big)\Big)+x^2+2x+1-y^2=16[/mm]
und weiter
[mm] \Rightarrow x^2-2x+1-y^2+2\wurzel{\big(x^2-2x+1-y^2\big)\big(x^2+2x+1-y^2\big)}+x^2+2x+1-y^2=16
[/mm]
> [mm]2x^2+2-2y^2+2\Big(x^4+2x^3+x^2-x^2y^2-2x^3-4x^2-2x+2xy^2+x^2+2x+1-y^2-x^2y^2-2xy^2-y^2+y^4\Big)=16[/mm]
Hier würde ich erstmal nicht soviel ausmultiplizieren, sondern mal anders sortieren und eben noch durch 2 teilen:
[mm] \Rightarrow \wurzel{\big((x^2+1-y^2)+2x\big)\big((x^2+1-y^2)-2x\big)}=8-(x^2+1-y^2)
[/mm]
Weil ich schreibfaul bin, führe ich mal [mm] z:=x^2+1-y^2 [/mm] ein und forme nochmal um (jetzt mit 3. binomischer Formel.
[mm] \Rightarrow \wurzel{z^2-4x^2}=8-z
[/mm]
Hier kommt jetzt eben der nächste Durchgang mit nochmal Quadrieren. Und da fällt [mm] z^2 [/mm] raus (das man ja sowieso lieber nicht ausgerechnet hätte  ).
Ab hier machst Du mal weiter. Zum Schluss muss man natürlich das Bequemlichkeits-$z$ wieder ersetzen.
> Wie macht man hier jetzt weiter? :-( Also ich habe das
> mehrmals überprüft und bei mir fällt nichts weg. Es
> wurde oben erwähnt, dass ich 2x quadrieren soll, aber das
> hier soll ich doch jetzt nicht nochmal quadrieren oder? Das
> wäre ja ein Term über eine ganze DIN A4 Seite.
Jetzt nicht mehr.
> Zu der 2. Lösung:
>
> Die geometrische Interpretation in der gaußschen
> Zahlenebene ist für mich nachvollziehbar, aber ich weiß
> leider nicht ob sie für uns ausreichend ist, weil wir
> normalerweise immer eine Gleichung berechnet haben.
Doch, das darfst Du garantiert benutzen, zumal wenn der Lösungsweg so viel kürzer ist.
> Wenn der 1. Lösungsweg irgendwie möglich sein sollte,
> könntet ihr mir noch einen Tipp geben wie es weitergeht??
Siehe oben.
> Vielen Dank im Voraus!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 16.01.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Ich werde das morgen nochmal nachrechnen, aber ärgere mich schon wieder sehr, dass ich das mit der Wurzel falsch gemacht habe.
Vielen Dank für deine Hilfe!
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Hallo mtr-studi,
> Beschreibe die Gestalt der Teilmenge der komplexen Ebene
> [mm]A_1=\{ z \in \mathbb{C} : |z+1|+|z+1| \le 4 \}[/mm]
ich gehe auch davon aus, dass Du [mm] A_1=\{z\in\IC:|z+1|+|z-1|\le{4}\} [/mm] meinst.
> ich soll diese Teilmenge beschreiben, aber habe damit etwas
> Probleme. Normalerweise haben wir solche Aufgaben für
> Kreise gemacht und hatten dabei immer nur einen Betrag z.B.[mm] |z+1-1| \le 10[/mm]
> , aber wenn ich das nach dem gleichen Verfahren hier
> anwende, komme ich am Ende zu einer Form, die mir keine
> Aussage bringt.
[...]
> Deswegen ist mein Vorgehen wohl falsch und ich es muss es
> anders lösen.Anscheinend handelt es sich um eine Ellipse,
> aber wie kann ich hierbei die Länge der Halbachsen usw.
> bestimmen damit ich das beschreiben kann?
Unter den verschiedenen Möglichkeiten, eine Ellipse zu definieren, ist eine der bekannteren die Definition als die Menge aller Punkte, bei denen die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten konstant ist.
Gegeben war nun [mm] A_1=\{z\in\IC:|z+1|+|z-1|\le{4}\}.
[/mm]
Betrachten wir den Rand dieses Gebiets, [mm] A_R=\{z\in\IC:|z+1|+|z-1|=4\}, [/mm] so ist offensichtlich, dass es sich um eine Ellipse mit den Brennpunkten 1 und -1 handelt. Die feste Abstandssumme ist 4.
Das heißt also für die reelle Halbachse, nennen wir sie $b$:
$(b-1)+(b+1)=4$, also $b=2$.
Die andere Halbachse liegt auf der imaginären Achse, mir reicht hier aber die Bestimmung ihrer Länge $a$ über Pythagoras. Es muss gelten:
[mm] 1^2+a^2=\left(\bruch{1}{2}*4\right)^2, [/mm] also [mm] a=\wurzel{3}.
[/mm]
So, und jetzt setzen Diophant und ich uns mal an einen virtuellen Tisch, trinken ein Glas Wein und diskutieren darüber, dass das Wurzelziehen früher viel intensiver war, aber eben auch mehr weh getan hat.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 16.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Unter den verschiedenen Möglichkeiten, eine Ellipse zu
> definieren, ist eine der bekannteren die Definition als die
> Menge aller Punkte, bei denen die Summe der Abstände zu
> zwei gegebenen Punkten konstant ist.
Ui, dass ich das übershen habe: da wird es wirklich Zeit für Feierabend und ein Glas Wein.
>
> Gegeben war nun [mm]A_1=\{z\in\IC:|z+1|+|z-1|\le{4}\}.[/mm]
>
> Betrachten wir den Rand dieses Gebiets,
> [mm]A_R=\{z\in\IC:|z+1|+|z-1|=4\},[/mm] so ist offensichtlich, dass
> es sich um eine Ellipse mit den Brennpunkten 1 und -1
> handelt. Die feste Abstandssumme ist 4.
>
> Das heißt also für die reelle Halbachse, nennen wir sie
> [mm]b[/mm]:
>
> [mm](b-1)+(b+1)=4[/mm], also [mm]b=2[/mm].
>
> Die andere Halbachse liegt auf der imaginären Achse, mir
> reicht hier aber die Bestimmung ihrer Länge [mm]a[/mm] über
> Pythagoras. Es muss gelten:
>
> [mm]1^2+a^2=\left(\bruch{1}{2}*4\right)^2,[/mm] also [mm]a=\wurzel{3}.[/mm]
>
Ja, da hatte ich mich verrechnet, und meine falsche Lösung hätte ich auch sofort merken müssen: wenn die längere Halbachse auf der imaginären Achse liegt, dann auch die Brennpunkte. Dass selbige jedoch bei 1 und -1 liegen, soweit hat es auch bei mir heute noch gereicht...
> So, und jetzt setzen Diophant und ich uns mal an einen
> virtuellen Tisch, trinken ein Glas Wein und diskutieren
> darüber, dass das Wurzelziehen früher viel intensiver
> war, aber eben auch mehr weh getan hat.
Ja, das wär ja auch mal an einem echten Tisch schön. Die sind halt arg weit weg voneinander...
Beste Grüße & schönen Abend, Johannes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Do 16.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> Ui, dass ich das übershen habe: da wird es wirklich Zeit
> für Feierabend und ein Glas Wein.
Das Gefühl kenne ich gut...
> [...]
> Ja, da hatte ich mich verrechnet, und meine falsche Lösung
> hätte ich auch sofort merken müssen: wenn die längere
> Halbachse auf der imaginären Achse liegt, dann auch die
> Brennpunkte. Dass selbige jedoch bei 1 und -1 liegen,
> soweit hat es auch bei mir heute noch gereicht...
Wem das noch nicht passiert ist, der hat wohl wenig Erfahrung mit Mathematik.
> > So, und jetzt setzen Diophant und ich uns mal an einen
> > virtuellen Tisch, trinken ein Glas Wein und diskutieren
> > darüber, dass das Wurzelziehen früher viel intensiver
> > war, aber eben auch mehr weh getan hat.
>
> Ja, das wär ja auch mal an einem echten Tisch schön. Die
> sind halt arg weit weg voneinander...
Wenn ich nicht irre, komme ich demnächst in Deiner Gegend vorbei. Ich schicke Dir rechtzeitig eine PN.
> Beste Grüße & schönen Abend, Johannes
Gleichfalls!
rev M
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