Komplexe Eigenwerte bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Finden Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der komplexen Matrix:
0 2 1
-2 0 3
-1 -3 0 |
Ich habe eine Frage bei der Bestimmung aller Eigenwerte: Ich weiss, dass diese Matrix Dimension 3 hat und somit 3 komplexe Eigenwerte haben muss. Ich habe dies probiert mit dem charakteristischen Polynom auszurechnen, das gibt mir die Eigenwerte lambda1=-8, lambda2=0 (durch auflösen der Gleichung -lambda²-8lambda=0)
Wie finde ich jedoch den dritten Eigenwert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 So 21.03.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Natascha,
schreibe doch mal deinen kompletten Rechenweg auf. Dein Charakteristisches Polynom (und damit auch deine Eigenwerte) sind nämlich falsch. Du solltest ein Polynom dritten Grades heraubekommen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
Lambda nenne ich ab jetzt c.
Ich habe gerade gesehen, dass da ein Rechnungsfehler war vorher. Also mǘsste es so werden:
Ich muss die Determinante also von
-c 2 1
-2 -c 3
-1 -3 -c
berechnen (det von A-cE).
= -c det (-c 3
-3 -c)
- (-2) det (2 1
-3 -c)
+ (-1) det ( 2 1
-c 3)
= -c (c²-9) + 2(-2c-3) -1 (6-c)
= -c³+9c-4c-6-6+c
= -c³+6c-12 =0
Also 12=c (-c²+6)
-c²-6 = 0
c²+6=0
c= sqrt (-6)
Daraus erhalte ich dann die c1=12, c2=6i und c3=-6i
Das müsste jetzt eher hinkommen..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
Ah ja, jetzt seh ich das. Somit erhalte ich dann:
-c (c²+9)+2(-2c+3)-(6+c)
= -c³ -9c -4c +6 -6 -c
= -c³-15c-12 = 0
und ich erhalte so c(-c²-15)=12 -> c1=12
und somit c2=27i und c3= -27i
Könnte das so hinhauen? Vielen Dank für deine Geduld!!! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 21.03.2010 | | Autor: | Fulla |
> und ich erhalte so c(-c²-15)=12 -> c1=12
> und somit c2=27i und c3= -27i
Das ist übrigens Unsinn... Mal abgesehen davon, dass die Gleichung nicht die Richtige ist. Setz doch mal z.B. 12 ein: [mm] $12(-144-15)=-1908\neq [/mm] 12$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Finden sie alle Eigenwerte der komplexen Matrix
5 6 -3
-1 0 1
1 2 -1 |
Hier scheitert es wieder am Rechnen:
Ich berechne das charakteristische Polynom:
det ( 5-c 6 -3
-1 -c 1
1 2 -1-c ) = 0
Diesmal mit Sarrus:
-c(5-c((-1-c)+6+6-3c-2(5-c)-(-6(-1-c))
= 5c+5c²-c²-c³+12-3c-10+2c-6-6c
= -c³+4c²-2c-4 = 0
Und dann habe ich ein Problem, dass ich nicht weiss, wie man das Lösen kann. Würde es eventuell etwas bringen, das so umzuformen?
4 = c (-c²+4c-2)
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 21.03.2010 | | Autor: | Fulla |
Hi Natascha,
> Finden sie alle Eigenwerte der komplexen Matrix
> 5 6 -3
> -1 0 1
> 1 2 -1
> Hier scheitert es wieder am Rechnen:
> Ich berechne das charakteristische Polynom:
> det ( 5-c 6 -3
> -1 -c 1
> 1 2 -1-c ) = 0
> Diesmal mit Sarrus:
> -c(5-c((-1-c)+6+6-3c-2(5-c)-(-6(-1-c))
> = 5c+5c²-c²-c³+12-3c-10+2c-6-6c
> = -c³+4c²-2c-4 = 0
Das stimmt soweit.
> Und dann habe ich ein Problem, dass ich nicht weiss, wie
> man das Lösen kann. Würde es eventuell etwas bringen, das
> so umzuformen?
> 4 = c (-c²+4c-2)
Nein, eher nicht...
Du musst an dieser Stelle
[mm] $-c^3+4c^2-2c-4=0$
[/mm]
eine Nullstelle "raten" und dann eine Polynomdivision machen.
Wenn du für c mal 1, -1, 2,... einsetzt, stellst du fest, dass $c=2$ passt.
Berechne jetzt [mm] $(-c^3+4c^2-2c-4):(c-2)$ [/mm] und du erhältst eine quadratische Gleichung, die dir die übrigen 2 Nullstellen liefert.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank!
Ich habe nun die Division durchgeführt und erhalte:
(-c³+4c²-2c-4):(c-2) = -c²+4c-2 und Rest=-4
Somit muss ich die Nullstelle von -c²+4c-6 = 0 finden.
Diese finde ich mit der Formal c2/3 = (-b +- sqrt (b²-4ac)) / 2a
Das führt zu (-4+- sqrt(16-4(-6)(-1))) / -2
das führt dann zu
c2= 2+2i
c3= 2-2i
Hat es diesmal geklappt? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 So 21.03.2010 | | Autor: | Fulla |
Ich erhalte da [mm] -c^2+2c+2 [/mm] (ohne Rest) - am besten schaust du nochmal über deine Rechnung.
Angenommen es bliebe ein Rest übrig... Dann darfst du ihn nicht einfach addieren.
Wenn du z.B. das als Ergebnis rausbekommst
> -c²+4c-2 und Rest=-4
dann kannst du es umschreiben zu
[mm] $-c^2+4c-2+\frac{-4}{c-2}$. [/mm] Aber das nur nebenbei...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 So 21.03.2010 | | Autor: | natascha |
Ich habe nochmal über die Rechnung geschaut und komme nun auch auf die richtige Lösung! Vielen Dank!
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