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| Aufgabe | Verifizieren Sie folgende Abschätzung für die [mm] Exponentialfunktion:\\
[/mm]
[mm] |1+ix-\exp{ix}|\leq \frac{x^2}{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie beweise ich die oben angegebene Ungleichung? Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist prinzipiell glaube ich nicht verkehrt, jedoch weiß ich nicht recht, wie ich loslegen soll.
Gruß Intenso99
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Hallo intenso99,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Verifizieren Sie folgende Abschätzung für die
> [mm]Exponentialfunktion:\\[/mm]
> [mm]|1+ix-\exp{ix}|\leq \frac{x^2}{2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Wie beweise ich die oben angegebene Ungleichung?
> Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist prinzipiell
> glaube ich nicht verkehrt, jedoch weiß ich nicht recht,
> wie ich loslegen soll.
[mm]1+i*x[/mm] ist doch das erste Taylorpolynom
der Funktion [mm]e^{ix}[/mm] um die Entwicklungsstelle x=0.
Somit kannst Du die Restgliedformel anwenden.
Meines Erachtens fehlt hier,
um die Ungleichung zu zeigen,
die Angabe eines Intervalles.
> Gruß Intenso99
>
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Aussage soll für alle reellen Zahlen x gelten!
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Hallo intenso99,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Aussage soll
> für alle reellen Zahlen x gelten!
Für alle reellen Zahlen ist [mm]e^{ix}[/mm] beschränkt.
Das gilt dann auch für das Restglied.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 27.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo intenso99,
>
> > Vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Aussage soll
> > für alle reellen Zahlen x gelten!
>
>
> Für alle reellen Zahlen ist [mm]e^{ix}[/mm] beschränkt.
>
> Das gilt dann auch für das Restglied.
Das stimmt nicht:
$ [mm] |1+ix-\exp{(ix)}| \ge |1+ix|-|\exp{(ix)}|= |1+ix|-1=\wurzel{1+x^2}-1$
[/mm]
FRED
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Sa 26.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Das ist vielleicht nicht der eleganteste Weg:
Setze $f(x):= [mm] |e^{ix}-1-ix|^2-\bruch{x^4}{4}$ [/mm] für x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige:
$f(x)= [mm] (cos(x)-1)^2+(sin(x)-x)^2-\bruch{x^4}{4}$
[/mm]
und
$f'(x)= [mm] 2x(cos(x)-1)-x^3$.
[/mm]
Zeige weiter:
$f'(x)<0$ für x>0, $f'(x)>0$ für x<0 und f'(0)=0
Aus alldem folgt: f hat sein (globales) Maximum in x=0, somit:
f(x) [mm] \le [/mm] f(0)=0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit folgt die Behauptung.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Do 10.03.2011 | | Autor: | intenso99 |
vielen lieben dank!
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