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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 01.07.2004 | | Autor: | birte |
Hallo zusammen....ich scheitere leider schon an der Aufgabenstellung, vielleicht kan mir jemand dies näher erklären:
Sei
[mm] c\in\IR [/mm]
Wir betrachten die Geraden
[mm] g_c=\{z \in\IC:Re(z)=c\} [/mm]
und
[mm] h_c=\{z\inIC:Im(z)=c\} [/mm]
in der komplexen Zahlenebene. Bestimme die Bilder dieser Geraden unter der Exponentialfunktion
[mm] exp:\IC\rightarrow\IC [/mm]
Zeichne die Kurven
[mm] exp(g_c) [/mm] fuer c=-2,-1,0,1,2
und
[mm] exp(h_c) [/mm] fuer [mm] c=k{pi\br3}, [/mm] k =0,1,....,5
was soll ich nur damit anfangen?? kann ich mir [mm] h_c [/mm] als einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius xi vorstellen, oder was genau hab ich da wohl vor mir??
Ich hoffe, mir kann jemand erklären, was ich mir darunter vorstellen kann. Vielen Dank schonmal, dass ich hier (und nur hier) meine Frage losgeworden bin.
grüsse birte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 01.07.2004 | | Autor: | birte |
Habe unglücklicherweise das falsche Forum gewählt.....diese Frage sollte eigentlich ins Analysis-Forum.
Habe also dort die Frage wiederholt......ich hoffe, dass ich nicht nochmal was falsch gemacht habe...und hoffe natürlich weiter auf Hilfe von julius etc.
danke
birte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Birte,
ich war der Übeltäter, der deine Frage hierhin verschoben hat. Hier gehört sie eher hin.
Wenn dir bis heute 0:00 Uhr keiner antwortet, bekommst du von mir heute nacht noch eine Antwort. Ich gehe aber mal davon aus, dass Marc das als gute Übung für seine Prüfung ansieht und dir eher schon antwortet. 
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 01.07.2004 | | Autor: | choosy |
Die Mengen [mm] g_c [/mm] sind horizontale geraden in der Ebene. sie verlaufen im abstand c zur Reellen Achse.
Die Mengen [mm] h_c [/mm] sind entsprechend die geraden parallel zur Imaginären achse.
Als beispiel kann man die grade [mm] h_3 [/mm] schreiben als [mm] h_3(x) [/mm] = 3+ix
und [mm] g_2(x) [/mm] = x+2i
als bild unter der exponentialfunktion
versteht man dann z.B. [mm] exp(h_3(x) [/mm] ) = exp(3+ix)
man kann mit vielen programmen einfach ein paar werte dieser funktion bestimmen und dann die bilder in der Complexen ebene zeichnen.
hoffe das hilft dir weiter...
ähh kann sein das ich jetzt g und h verwechselt hab, hab deinen artikel nichtmehr 100 prozentig im kopf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 01.07.2004 | | Autor: | birte |
mmh, ok.....ich versuch das grae mal zu verstehen...scheint ja nicht so schwer zu sein, wenn man in einer imaginären Welt lebt :)
habe leider kein programm, das mir mal eben die graghen auswirft.....aber mus ich dann einfach in mein Koordinatensystem die GRaden für c=-2, -1, etc eintragen....ober hab ich nur wieder mal nen brett vorm Kopf??
Da muss doch noch irgendwas mit nem Kreis kommen??
Danke erstmal, vielleicht sollte ich erstmal genauer versuchen zu verstehen, was Du mir geantwortet hast!
grüsse, birte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo birte
wie choosy bereits angetönt hat, ist [mm] $g_c$ [/mm] eine Gerade.
Am besten notierst du diese mit einer Parameterdarstellung. Du weisst ja, dass der Realteil den Wert $c$ hat. Ueber den Imaginärteil wird nichts gesagt, das heisst, er darf beliebig sein. So drängt sich zum Beispiel folgende Darstellung auf:
[mm] $g_{c}: [/mm] z=c+it; [mm] -\infty
Das kannst du jetzt einfach in die Exponentialfunktion einsetzen:
[mm] $f(g_{c}) [/mm] = [mm] e^{c+it}$
[/mm]
Jetzt darfst du dich einfach nicht verwirren lassen durch die Darstellung als e hoch .. Gemeint ist aber die Exponentialfunktion, nicht eine reelle Zahl hoch irgendetwas!
Nun gilt für die Exponentialfunktion aber, dass man mit dem Argument so rechnen darf, als sei es tatsächlich ein Exponent:
[mm] $e^{a+b}=e^{a}*e^{b}$
[/mm]
Und dann hat ja Euler noch eine schöne Darstelung gegeben, die ich ohne Beweis hier anführe:
[mm] $e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}$
[/mm]
Das alles angewendet auf deine Aufgabe:
[mm] $e^{c+it}=e^{c}*e^{it}=e^{c}*(\cos{t}+i\sin{t}) [/mm] ; [mm] -\infty
Vielleicht gelingt es dir selber, diese Funktion zu Interpretieren als Kreis mit Radius [mm] $e^{c}$ [/mm] mit Mittelpunkt $0$ ($t$ ist dabei das Argument (der Winkel) des laufenden Punktes, die Gerade wird also bildlich gesehen auf einen Kreis aufgewickelt. Parallele Geraden (immer mit kostantem Realteil) ergeben konzentrische Kreise. Ich würde empfehlen, dir das anhand von vielen parallelen Geraden mal aufzuzeichnen und auch zu überlegen, welche Kreise einen grösseren Radius als $1$ haben, und welche einen kleineren.)
Jetzt hoffe ich, dass du mit diesen Angaben erfolgreich die 2. Teilaufgabe in Angriff nehmen kannst. (Es gibt aber keine Kreise mehr, dies sei jetzt schon vorweggenommen. Und: die Exponentialfunktion ist winkeltreu!)
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Fr 02.07.2004 | | Autor: | birte |
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
....ich glaub, so langsam versteh ich es.......vielen dank für diese gute und einfache erklärung
birte
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