Komplexe Fkt. differenzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 24.04.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion
$f=u+iv \ : \ \IC\to\IC, \ \ \ \ \ f(z):=\{^{z^5*|z|^{-4} \ \ \ \ ,z\not=0}_{0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,z=0}$
Zeigen Sie:
(a) Die Funktion F:=(u,v):\IR^2\to\IR^2 besitzt in (x_0,y_0)=(0,0) partielle Ableitungen, die den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen.
(b) Die Funktion f ist in z_0=0 nicht komplex differenzierbar. |
Hallo!
Leider komme ich noch nicht wirklich klar mit dem Thema, daher bräuchte ich etwas Unterstützung. :)
Es ist ja $ f(z)=u(z)+i*v(z) $. Ich will jetzt v und u bestimmen, wobei wenn ich das richtig verstanden habe ja $u(z)=Re(f(z))$ und $v(z)=Im(f(z))$.
f(z)=\bruch{z^5}{|z|^-4}=\bruch{(x+iy)^5}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}
Muss ich hier jetzt (x+iy)^5 ausmultiplizieren um Real- und Imaginärteil zu bestimmen oder geht das auch eleganter? Ist das überhaupt der richtige Ansatz um auf die Stammfunktion $F(z)=U(z)+i*V(z)$ zu kommen?? Sehe ich das richtig, dass gilt:
F(z)=\integral{f(z)}=\integral{u(z) dx - v(z) dy }+i*\integral{v(z) dx + u(z) dy} ?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Funktion
>
> [mm]f=u+iv \ : \ \IC\to\IC, \ \ \ \ \ f(z):=\{^{z^5*|z|^{-4} \ \ \ \ ,z\not=0}_{0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,z=0}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) Die Funktion [mm]F:=(u,v):\IR^2\to\IR^2[/mm] besitzt in
> [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] partielle Ableitungen, die den
> Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen.
>
> (b) Die Funktion f ist in [mm]z_0=0[/mm] nicht komplex
> differenzierbar.
> Hallo!
>
> Leider komme ich noch nicht wirklich klar mit dem Thema,
> daher bräuchte ich etwas Unterstützung. :)
>
> Es ist ja [mm]f(z)=u(z)+i*v(z) [/mm]. Ich will jetzt v und u
> bestimmen, wobei wenn ich das richtig verstanden habe ja
> [mm]u(z)=Re(f(z))[/mm] und [mm]v(z)=Im(f(z))[/mm].
>
> [mm]f(z)=\bruch{z^5}{|z|^-4}=\bruch{(x+iy)^5}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}[/mm]
>
> Muss ich hier jetzt [mm](x+iy)^5[/mm] ausmultiplizieren um Real- und
> Imaginärteil zu bestimmen oder geht das auch eleganter?
Nicht dass ich wüßte .
> Ist das überhaupt der richtige Ansatz um auf die
> Stammfunktion [mm]F(z)=U(z)+i*V(z)[/mm] zu kommen??
Wozu redest Du von Stammfunktion. Nichts dergleichen ist in der Aufgabe verlangt.
FRED
> Sehe ich das
> richtig, dass gilt:
>
> [mm]F(z)=\integral{f(z)}=\integral{u(z) dx - v(z) dy }+i*\integral{v(z) dx + u(z) dy}[/mm]
> ?
>
> Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 24.04.2012 | | Autor: | chesn |
Dachte bei F an die Stammfunktion.. muss ich wohl nochmal überdenken.
Danke! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 24.04.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo nochmal!
Habe ausmultipliziert und erhalte:
[mm] f(z)=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4+(y^5-10x^2y^3+5x^4y)i}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}
[/mm]
Also
[mm] u(x,y)=Re(f(z))=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}
[/mm]
[mm] v(x,y)=Im(f(z))=\bruch{y^5-10x^2y^3+5x^4y}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}
[/mm]
Soll ich jetzt zeigen, dass [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(0,0)=\bruch{\partial v}{\partial y}(0,0) [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}(0,0)=-\bruch{\partial v}{\partial x}(0,0) [/mm] oder wie ist die Aufgabenstellung zu verstehen??
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal!
>
> Habe ausmultipliziert und erhalte:
>
> [mm]f(z)=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4+(y^5-10x^2y^3+5x^4y)i}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}[/mm]
>
> Also
>
> [mm]u(x,y)=Re(f(z))=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}[/mm]
>
> [mm]v(x,y)=Im(f(z))=\bruch{y^5-10x^2y^3+5x^4y}{(\wurzel{x^2+y^2})^4}[/mm]
>
> Soll ich jetzt zeigen, dass [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}(0,0)=\bruch{\partial v}{\partial y}(0,0)[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}(0,0)=-\bruch{\partial v}{\partial x}(0,0)[/mm]
Ja
FRED
> oder wie ist die Aufgabenstellung zu verstehen??
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 24.04.2012 | | Autor: | chesn |
Ah okay vielen Dank!
Kann bei Teil b) folgendes machen:
[mm] lim_{z\to 0}\bruch{z^4}{|z|^4}=lim_{n\to\infty}\bruch{(\bruch{1}{n})^4}{|\bruch{1}{n}|^4}=1
[/mm]
oder habe ich da Unfug verzapft?
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ODER
[mm] -(1/n)^n [/mm] geht auch gegen 0 ebenso wie [mm] i*(1/n)^n [/mm] und viele andere!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 24.04.2012 | | Autor: | chesn |
Verrät mir evtl. jemand ein Kochrezept dafür? Leider habe ich keine Zeit mehr mich noch lang damit auseinander zu setzen (Abgabe morgen), würde aber noch gern wissen wie ich das anstelle. Wäre wirklich nett. :)
Vielen Dank & Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch eigentlich [mm] z^5/|z^4| [/mm] nimm [mm] z=r*e^{it} [/mm] und lass r gegen 0 laufen.
Grus leduart
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