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Forum "Folgen und Reihen" - Komplexe Fourierreihe
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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Sa 25.07.2009
Autor: Tobus

Aufgabe
Entwickeln sie die Funktion [mm] f(x)=x-\pi [/mm] im Intervall [0, [mm] 2\pi[ [/mm] in eine Fourierreihe. Zerlegen sie diese in Real- und Imaginärteil.

Hallo,
ich hab ein Problem, dass ich diese Aufgabe nicht ohne Taschenrechner lösen kann. Vllt könnt ihr mir da helfen.

[mm] c_{k}=\bruch{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(x-\pi)*e^{-ikx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}*i [/mm]

Dieses Ergebnis kann ich nur mit dem Taschenrechner berechnen, da ich nicht auf die Stammfunktion komme.

Weiter würde ich dann so vorgehen:

[mm] a_{k}=c_{k}+c_{-k} [/mm]
[mm] b_{k}=i*(c_{k}-c_{-k}) [/mm]

und dann die "normale" reelle Fourierreihe weiter.

Da ich aber nichtmal [mm] c_{k} [/mm] ausrechnen kann, denke ich dass es da noch eine andere Möglichkeit geben muss.

DANKE !!!!

        
Bezug
Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Sa 25.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Tobus,

> Entwickeln sie die Funktion [mm]f(x)=x-\pi[/mm] im Intervall [0,
> [mm]2\pi[[/mm] in eine Fourierreihe. Zerlegen sie diese in Real- und
> Imaginärteil.
>  Hallo,
>  ich hab ein Problem, dass ich diese Aufgabe nicht ohne
> Taschenrechner lösen kann. Vllt könnt ihr mir da helfen.
>  
> [mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi}[/mm] *
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(x-\pi)*e^{-ikx} dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}*i[/mm]
>  
> Dieses Ergebnis kann ich nur mit dem Taschenrechner
> berechnen, da ich nicht auf die Stammfunktion komme.
>  
> Weiter würde ich dann so vorgehen:
>  
> [mm]a_{k}=c_{k}+c_{-k}[/mm]
>  [mm]b_{k}=i*(c_{k}-c_{-k})[/mm]
>  
> und dann die "normale" reelle Fourierreihe weiter.
>  
> Da ich aber nichtmal [mm]c_{k}[/mm] ausrechnen kann, denke ich dass
> es da noch eine andere Möglichkeit geben muss.


Nun, berechne die Stammfunktion mit Hilfe der partiellen Integration.


>  
> DANKE !!!!


Gruß
MathePower

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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Sa 25.07.2009
Autor: Tobus

Hallo,
ja genau das habe ich auch schon probiert, jedoch weiß ich nicht wie ich von komplexen Zahlen Stammfunktionen bilden kann (in diesem Beispiel von [mm] e^{-ikx}) [/mm]

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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Sa 25.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Tobus,

> Hallo,
>  ja genau das habe ich auch schon probiert, jedoch weiß
> ich nicht wie ich von komplexen Zahlen Stammfunktionen
> bilden kann (in diesem Beispiel von [mm]e^{-ikx})[/mm]  


Nun, das ist nichts anderes als die Stammfunktion von [mm]e^{c*x}[/mm].

Wobei hier das [mm]c \in \IC[/mm].

Bilde hier also ganz "normal" die Stammfunkion.


Gruß
MathePower



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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 So 26.07.2009
Autor: Mobus

ah ok danke schonmal aber was mach ich mit dem teil (x- [mm] \pi) [/mm]

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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 26.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Mobus,

Das [mm] $(x-\pi)$ [/mm] ist doch ein linearer Term, der beim Ableiten zu 1 wird.

Also bietet sich partielle Integration an.

Setze dazu [mm] $(x-\pi)=:u(x)$ [/mm] und [mm] $e^{-ikx}=:v'(x)$ [/mm] ...

Dann hast du das Integral [mm] $\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=...$ [/mm]


LG

schachuzipus

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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mo 27.07.2009
Autor: Mobus

danke des war schonmal eine große hilfe!!!!
Ich hab allerdings immer noch das problem denn anhand der formel
ck = 1/ [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] * [mm] e^{-ikx} [/mm] soll ich jetzt des ck ausrechnen.
Die Lösung lautet hierzu ck = i/k
Aber ich komm einfach nich auf die lösung ich versteh nich was ich beim ausrechnen vom integral falsch mach ;(


Bezug
                                                        
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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mo 27.07.2009
Autor: fred97


> danke des war schonmal eine große hilfe!!!!
>  Ich hab allerdings immer noch das problem denn anhand der
> formel
>  ck = 1/ [mm]2\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm] * [mm]e^{-ikx}[/mm]
> soll ich jetzt des ck ausrechnen.
>  Die Lösung lautet hierzu ck = i/k
>  Aber ich komm einfach nich auf die lösung ich versteh
> nich was ich beim ausrechnen vom integral falsch mach ;(


Dann zeig doch mal Deine Rechnungen !

FRED


>  


Bezug
                                                                
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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mo 27.07.2009
Autor: Mobus

meine rechnung is ungefähr 3 mal so lang wie die ursprüngliche.
Soll ich die da jetzt echt reinstellen?
ich brauch doch nur die rechnung für s ck kann mir nieman dsagen wie de sgeht?

Bezug
                                                                        
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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Mo 27.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> meine rechnung is ungefähr 3 mal so lang wie die
> ursprüngliche.

Naja, das ist ne einfache (im Sinne von nur einmal anzuwendender) partieller Integration, das sind 3 Zeilen...

>  Soll ich die da jetzt echt reinstellen?

Ja, lass ruhig den Vorfaktor und die Integralgrenzen weg, damit wir erstmal sehen, ob deine Stammfunktion richtig ist ...

>  ich brauch doch nur die rechnung für s ck kann mir nieman
> dsagen wie de sgeht?

Wenn du deine Rechnung einstellst, werden wir sie schon korrigieren, aber vorrechnen tun wir nicht --> Forenregeln

LG

schachuzipus


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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 27.07.2009
Autor: Mobus

(x - [mm] \pi) [/mm] * 1/-ik * e^-ikx - [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] * 1 * 1/-ik * e^-ikx
also so siehtd es nach de rpartiellen integration aus..

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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 27.07.2009
Autor: fred97


> (x - [mm]\pi)[/mm] * 1/-ik * e^-ikx - [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] * 1 *
> 1/-ik * e^-ikx
>  also so siehtd es nach de rpartiellen integration aus..

Wenn Du das

$(x - [mm] \pi) [/mm] * [mm] \bruch{1}{-ik} [/mm] * [mm] e^{-ikx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{-ik} * e^{-ikx} dx}$ [/mm]

meinst, dann sieht es gut aus

FRED

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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Mo 27.07.2009
Autor: Mobus

ja? aber wenn ich des jetzt integier bekomm ich was mit sin und cos raus und ich muss ja auf die lösung i/k kommen

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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 27.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ja? aber wenn ich des jetzt integier bekomm ich was mit sin
> und cos raus und ich muss ja auf die lösung i/k kommen

Nein, wenn du das letzte Integral berechnest, kannst du erstmal die Konstante rausziehen, also

[mm] $-\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx}$ [/mm]

Also wie ganz weit oben in einer Antwort schon bemerkt.

Dann alles zusammenmodeln und die Grenzen einsetzen. Bedenke: [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{i}=-i$ [/mm]

LG

schachuzipus


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Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Di 28.07.2009
Autor: Tobus

Hallo schachuzipus,
danke schonmal für die Hilfe

[mm] -\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} [/mm]

ergibt bei mir:

[mm] \bruch{1}{k^{2}}*e^{-ikx} [/mm]

Das Ergebnis soll lauten: [mm] \bruch{1}{k}*i [/mm]

Ich sitze schon seit einer Stunde dran, und komme nicht drauf, wie ich das nun umformen kann.

Vllt könnte mir noch einer helfen ?

DANKE !!!!

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Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Di 28.07.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo schachuzipus,
>  danke schonmal für die Hilfe
>  
> [mm]-\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx}[/mm]
>  
> ergibt bei mir:
>  
> [mm]\bruch{1}{k^{2}}*e^{-ikx}[/mm]

Das ist richtig, aber jetzt musst du die Grenzen einsetzen, dann wurst du sehen, dass 0 herauskommt.

>  
> Das Ergebnis soll lauten: [mm]\bruch{1}{k}*i[/mm]

Ja, das kommt vom ersten Term

[mm] \left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi} - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = (\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi} - \bruch{-\pi}{-ik}) - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = \bruch{2i\pi}{k} - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = \bruch{2i\pi}{k} [/mm]

da [mm] $e^{-2ik\pi}=1$ [/mm] für ganze Zahlen k.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Komplexe Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:49 Mi 29.07.2009
Autor: Tobus

Hallo,
ich habe nun noch lange gerechnet, und dank der vielen Hilfen habe ich es (fast) geschafft ;)

Mein Rechenweg ist genau so, also:
[mm] \left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm]

= [mm] (\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi} [/mm] - [mm] \bruch{-\pi}{-ik}) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2i\pi}{k} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm]

= [mm] -\bruch{2i\pi}{k} [/mm]

Ich habe aber beim Ergebnis ein - dabei, also ein Vorzeichenfehler.
Was mache ich noch falsch ?

VIELEN DANK und eine gute Nacht !! ;)

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Komplexe Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 Mi 29.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tobus,

> Hallo,
>  ich habe nun noch lange gerechnet, und dank der vielen
> Hilfen habe ich es (fast) geschafft ;)
>  
> Mein Rechenweg ist genau so, also:
>  [mm]\left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi}[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi}[/mm] - [mm]\bruch{-\pi}{-ik})[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2i\pi}{k}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm] [ok]

Bis hierher passt es!

>
> = [mm]-\bruch{2i\pi}{k}[/mm] [notok]

Ziehe beim letzten Integral die Konstante raus, um den VZF zu umgehen

[mm] $\frac{2\pi i}{k}-\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{2\pi i}{k}\red{+}\frac{1}{ik}\cdot{}\int\limits_{0}^{2\pi}{e^{-ikx} \ dx}=\frac{2\pi i}{k}+\frac{1}{ik}\cdot{}\left[\left(\frac{1}{-ik}\right)\cdot{}e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi i}{k}+\frac{1}{k^2}\cdot{}\left[e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}=...$ [/mm]


>  
> Ich habe aber beim Ergebnis ein - dabei, also ein
> Vorzeichenfehler.
>  Was mache ich noch falsch ?

Vorzeichendreher im letzten Integral ...

>  
> VIELEN DANK und eine gute Nacht !! ;)

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Komplexe Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Mi 29.07.2009
Autor: Tobus

AHH super, VIELEN DANK

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