Komplexe Funktionen 89 < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 89. [mm] f(z)=\frac{8z-16i}{z}
[/mm]
a)Welche Punktmenge wird auf die imaginäre Achse abgebildet?
b)Welches ist das Bild des Kreises [mm] k:\vmat{z}=2? [/mm] |
Guten Abend,
bei a)
Im. Achse= [mm] z+\overline{z}=0 [/mm] also z=a-bi
[mm] a-bi=\frac{8a+8bi-16i}{a+bi}
[/mm]
das gibt dann
[mm] 2a^{2}-8a+8bi-16i=0 [/mm]
laut lösung stimmt das aber nicht...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> 89. [mm]f(z)=\frac{8z-16i}{z}[/mm]
> a)Welche Punktmenge wird auf die imaginäre Achse
> abgebildet?
> b)Welches ist das Bild des Kreises [mm]k:\vmat{z}=2?[/mm]
> Guten Abend,
>
>
> bei a)
>
> Im. Achse= [mm]z+\overline{z}=0[/mm] also z=a-bi
Gefragt ist doch, welche z auf die Im-Achse abgebildet werden.
Also [mm] w+\overline{w}=0 \Rightarrow [/mm] w=ci
Den Ansatz für z (z=a+bi) kannst Du trotzdem beibehalten.
> [mm]a-bi=\frac{8a+8bi-16i}{a+bi}[/mm]
Diese Gleichung heißt dann: [mm] ci=\bruch{8a+8bi-16i}{a+bi}
[/mm]
> das gibt dann
>
> [mm]2a^{2}-8a+8bi-16i=0[/mm]
>
> laut lösung stimmt das aber nicht...
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 02.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi reverend,
[mm] c=\frac{8a+8bi+16i}{ai-b} [/mm] ?
wie weiter?
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Hallo kushkush,
die Aufgabe besteht darin, aus [mm] ci=\bruch{8a+8bi-16i}{a+bi} [/mm]
erst a(c) und b(c) zu bestimmen (LGS mit den beiden Variablen a,b und dem Parameter c), und dann eine möglichst parameterfreie allgemeine Form für alle z zu finden, die auf die Imaginärachse abgebildet werden.
Gruß
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mo 02.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi reverend,
ich sehe gerade dass ci=8 ist ...
heisst das nicht dass es besser wäre wenn ich ganz am anfang die umkehrfunktion bilde und dann z in die gleichungen einsetze und nicht umgekehrt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi reverend,
>
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> ich sehe gerade dass ci=8 ist ...
nein, $c$ ist eine beliebige reelle Zahl. Und nun soll die Gleichung
[mm] $$(\star)\;\;\; c=\frac{8a+8bi-16i}{ai-b}$$
[/mm]
erfüllt sein, wobei [mm] $a\,=a(c)$ [/mm] und [mm] $b\,=b(c)$ ($a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] sind also quasi Funktionen in Abhängigkeit von [mm] $c\,$).
[/mm]
Um aus [mm] $(\star)$ [/mm] Aussagen über [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $c\,$ [/mm] treffen zu können, sortiere die rechte Seite nach dem Real- und Imaginärteil. (Dazu erweitere mit dem konjugiert komplexen Nenner.)
Und jetzt beachte, dass für [mm] $z=\,x+i*y$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] und [mm] $w=\,r+i*s$ [/mm] ($r,s [mm] \in \IR$) [/mm] genau dann [mm] $z\,=w$ [/mm] gilt, wenn sowohl [mm] $x\,=r$ [/mm] als auch [mm] $y\,=s$ [/mm] gilt. (Vergleich von Real- und Imaginärteil zweier komplexer Zahlen!)
P.S.:
Eleganter wäre es vll.
$$ [mm] ci=\frac{8a+8bi-16i}{a+bi}$$
[/mm]
mit $a+bi$ zu multiplizieren, ein wenig zu rechnen und nach Real- und Imaginärteil zu sortieren und dann zu beachten, dass für [mm] $z=\,x+i*y$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] gilt:
$$z=0 [mm] \;\;\gdw\;\;(x=0 \text{ und } y=0)\,.$$
[/mm]
Edit bzw. Warnung zu dieser Rechenmethode:
Reverends Ansatz ist eigentlich insofern unelegant bzw. mit Vorsicht zu genießen - bzw. man könnte sogar 'falsch' sagen - als dass es nicht zu jeder Zahl $c*i [mm] \in i*\IR$ [/mm] ein $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $f(z)=i*z$ geben muss. Also sind, sofern man überhaupt von $a=a(c)$ und $b=b(c)$ als Funktionen sprechen kann (auch das ist nicht klar, siehe das Bsp. in der Korrekturmitteilung!), dann diese hier auch nur Funktionen mit einem gewissen 'eingeschränkten' Definitionsbereich, und ich weiß nicht, ob aus der Rechnung hervorgeht, wie dieser im Endeffekt wirklich nachher auszusehen hat. Also der Ansatz ist eigentlich sogar nicht wirklich korrekt bzw. führt zu einem Ergebnis, bei dem die korrekte Analyse des Ergebnisses über diesen Weg vll. viel zu kompliziert wird.
Also bleibe am besten bei dem Ansatz:
Gesucht sind die $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $f(z)+\overline{f(z)}=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:21 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo kushkush,
>
> > 89. [mm]f(z)=\frac{8z-16i}{z}[/mm]
> > a)Welche Punktmenge wird auf die imaginäre Achse
> > abgebildet?
> > b)Welches ist das Bild des Kreises [mm]k:\vmat{z}=2?[/mm]
> > Guten Abend,
> >
> >
> > bei a)
> >
> > Im. Achse= [mm]z+\overline{z}=0[/mm] also z=a-bi
>
> Gefragt ist doch, welche z auf die Im-Achse abgebildet
> werden.
> Also [mm]w+\overline{w}=0 \Rightarrow[/mm] w=ci
>
> Den Ansatz für z (z=a+bi) kannst Du trotzdem beibehalten.
>
> > [mm]a-bi=\frac{8a+8bi-16i}{a+bi}[/mm]
>
> Diese Gleichung heißt dann: [mm]ci=\bruch{8a+8bi-16i}{a+bi}[/mm]
>
> > das gibt dann
> >
> > [mm]2a^{2}-8a+8bi-16i=0[/mm]
> >
> > laut lösung stimmt das aber nicht...
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> > bin für jede Antwort dankbar.
>
> Grüße
> reverend
der Ansatz mit $c*i=f(z)$ ist nicht 'gut'. Betrachte etwa [mm] $f(z)=f(a+i*b)=a=(z+\overline{z})/2\,.$
[/mm]
Dann würde $i*c=f(z)$ gerade [mm] $i*c\,=a$ [/mm] liefern, und hier könnte man nicht mehr $c$ 'variieren' lassen, sondern $i*c=a [mm] \in \IR$ [/mm] würde genau für [mm] $c\,=a=0$ [/mm] gelten. Und für $c [mm] \not=0$ [/mm] gibt es kein $z$ mit [mm] $f(z)=i*c\,,$ [/mm] da $a [mm] \in \IR$ $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \notin i*\IR\setminus\{0\}\,.$
[/mm]
Man müsste also genau 'aufpassen', ob man [mm] $a\,=a(c)$ [/mm] und [mm] $b=\,b(c)$ [/mm] als Funktionen (also mit Definitionsbereich [mm] $\IR$, [/mm] d.h. $c [mm] \in \IR$) [/mm] auffassen könnte, und wenn das möglich wäre, wäre auch sogar eigentlich noch zu beachten, wo (d.h. für welche $c [mm] \in \IR$) [/mm] diese dann genau definiert wären (oben wäre für $c=0$ nämlich für $b$ jeder beliebige Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] zulässig, also macht es keinen Sinn, von $b(0)$ zu sprechen; und ansonsten wäre nur $a(0)=0$ interessant).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 89. [mm]f(z)=\frac{8z-16i}{z}[/mm]
> a)Welche Punktmenge wird auf die imaginäre Achse
> abgebildet?
> b)Welches ist das Bild des Kreises [mm]k:\vmat{z}=2?[/mm]
> Guten Abend,
>
>
> bei a)
>
> Im. Achse= [mm]z+\overline{z}=0[/mm] also z=a-bi
>
> [mm]a-bi=\frac{8a+8bi-16i}{a+bi}[/mm]
>
> das gibt dann
>
> [mm]2a^{2}-8a+8bi-16i=0[/mm]
>
> laut lösung stimmt das aber nicht...
also ein vll. einfacherer Ansatz bei Aufgabe a) wäre, wenn Du die Aufgabenstellung umformulierst zu:
Bestimme alle $z=a+b*i [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $f(z)+\overline{f(z)}=0\,.$ [/mm] Dann sind die Punkte $(a,b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] vll. für Dich besser berechenbar.
Dass diese eine zur Aufgabenstellung äquivalente Umformulierung ist, erkennst Du, weil für komplexes $z$ gilt:
[mm] $$z+\overline{z}=2\text{Re}z\,.$$
[/mm]
Dein Ansatz war eigentlich okay (nur musst Du nicht die Gleichung [mm] $z+\overline{z}=0$, [/mm] sondern [mm] $f(z)+\overline{f(z)}=0$ [/mm] betrachten!), Reverends Weg ist eine Alternative, die allerdings zum Gleichen Ergebnis führen sollte (wenn man sich danach die Punkte der Kurve $(a(c),b(c)) [mm] \in \IR^2$ [/mm] anschaut).
Edit: Reverends Ansatz ist, wie in der anderen Antwort erläutert, eigentlich 'nicht gut', weil es durchaus auch Zahlen $i*c [mm] \in i*\IR$ [/mm] geben kann, so dass es kein $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $f(z)=i*c$ gibt. Zudem kann es generell schon problematisch sein, [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] als Funktionen von [mm] $c\,$ [/mm] anzusehen.
P.S.:
Wenn man sich das nochmal anguckt:
Gesucht sind alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $f(z)+\overline{f(z)}=0\,,$ [/mm] so erkennt man nach einer kurzen Rechnung, dass das genau die $z [mm] \in \IC$ [/mm] sind mit
[mm] $$z\overline{z}+iz-i\overline{z}=0\,.$$
[/mm]
Jetzt kann man mit $z=x+i*y$ rechnen und gelangt dann zu einer gewissen Kreisgleichung [mm] ($(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\,,$ [/mm] wobei [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] der Kreismittelpunkt und $R [mm] \ge [/mm] 0$ der Radius des Kreises ist) im [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Alternativ:
[mm] $$z\overline{z}+iz-i\overline{z}=0 \gdw (z-i)*(\overline{z}-\overline{i})-i*\overline{i}=0 \gdw (z-i)*\overline{(z-i)}-i*(-i)=0 \gdw |z-i|^2=-i^2 \gdw |z-i|^2=1 \gdw |z-i|=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mo 02.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi und danke Marcel,
Ich habe [mm] z\overline{z}+iz-i\overline{z}=0 [/mm] mit z=a+bi ausgerechnet und komme auf
[mm] a^{2}+b^{2}-2b=0 [/mm]
verstehe jetzt allerdings nicht wie ich weiter rechnen/umformen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi und danke Marcel,
>
> Ich habe [mm]z\overline{z}+iz-i\overline{z}=0[/mm] mit z=a+bi
> ausgerechnet und komme auf
>
> [mm]a^{2}+b^{2}-2b=0[/mm]
>
> verstehe jetzt allerdings nicht wie ich weiter
> rechnen/umformen soll...
das sieht doch sehr gut aus. Entweder stellst Du Dir nun ein kartesisches [mm] $a,b\,$-Koordinatensystem [/mm] vor, oder Du schreibst einfach mal [mm] $z=\,x+i*y$ [/mm] anstatt [mm] $z=\,a+i*b$ [/mm] (d.h. ersetze [mm] $x:=a\,$ [/mm] und [mm] $y:=b\,$). [/mm] Das ganze musst Du nicht tun, ist aber 'zweckmäßig', weil man sich den [mm] $\IR^2$ [/mm] meist mit [mm] $x,y\,$-Achsen [/mm] 'illustriert' anstelle von [mm] $a,b\,$-Achsen [/mm] 
(Beachte auch, dass der euklidische [mm] $\IR^2$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IC$ [/mm] (mit der üblichen Betragsmetrik) ist und beide auch mit der gleichen Metrik versehen sind. Gerade so definiert man ja den Abstand zweier komplexer Zahlen.)
Oben stünde dann
[mm] $$x^{2}+y^{2}-2y=0\,,$$
[/mm]
und eine Idee wäre es nun, zu testen, ob man das nicht in die Form
[mm] $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$
[/mm]
umschreiben kann (letzteres beschreibt im [mm] $\IR^2 \cong \IC$ [/mm] den Rand eines Kreises mit Mittelpunkt [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] und Radius $R$).
Klar ist jedenfalls
[mm] $$x^2+y^2-2y=0 \gdw (x-\underbrace{0}_{=:x_0})^2+y^2-2y=0\,.$$
[/mm]
Hier 'fehlen' jetzt noch das [mm] $R\,$ [/mm] und das [mm] $y_0$. [/mm] Ich gebe Dir mal folgenden Hinweis (Stichwort: quadratische Ergänzung):
[mm] $$x^2+y^2-2y=0 \gdw (x-0)^2+(y^2-2y+1)-1=0\,.$$
[/mm]
Siehst Du nun, wie es weitergeht?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mo 02.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Muss ich es zurückformen nach z? Tut mir leid, ich verstehe nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Muss ich es zurückformen nach z? Tut mir leid, ich verstehe
> nicht...
nein. Wir sind nun im [mm] $\IR^2$ [/mm] und betrachten dort die Gleichung
[mm] $$(x-0)^2+(y^2-2y+1)-1=0\,.$$
[/mm]
Nach der zweiten binomischen Formel und wegen [mm] $1^2=1$ [/mm] steht dann dort
[mm] $$(x-\underbrace{0}_{=:x_0})^2+(y-\underbrace{1}_{=:y_0})^2=1^2\,.$$
[/mm]
Jetzt kannst Du den Kreismittelpunkt [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] und den Radius [mm] $R\,$ [/mm] ablesen.
D.h. alle [mm] $z\in \IC$ [/mm] mit [mm] $\text{Re}(f(z))=0$ [/mm] werden für [mm] $z=\,x+i*y$ [/mm] durch
[mm] $$(x-0)^2+(y-1)^2=1$$
[/mm]
charakterisiert. Das ist eine Kreisgleichung im [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] wie Du den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises ablesen kannst, habe ich oben schonmal geschrieben.
In [mm] $\IC$ [/mm] hätte eine im [mm] $\IR^2$ [/mm] beschriebene Kreisgleichung
[mm] $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$
[/mm]
die Form
[mm] $$|z-z_0|=R$$
[/mm]
oder
[mm] $$|z-z_0|^2=R^2\,.$$
[/mm]
Wenn man weiß, dass für [mm] $z=\,x+i*y\,,$ $z_0=x_0+i*y_0$ [/mm] gerade [mm] $|z|^2=x^2+y^2$ [/mm] gilt, und zudem beachtet, dass [mm] $\text{Re}(z-z_0)=x-x_0$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(z-z_0)=(y-y_0)$ [/mm] ist, erkennt man meine obige Behauptung unmittelbar.
Oder anders gesagt:
Für [mm] $z_0=x_0+i*y_0$ [/mm] weiß man nun, dass man im [mm] $\IR^2$ [/mm] alle Punkte $(x,y) [mm] \in \IR^2\,$ [/mm] auf dem Rand des Kreises mit Kreismittelpunkt [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] und Radius [mm] $R\,$ [/mm] betrachtet.
Will man das in [mm] $\IC$ [/mm] beschreiben, so erkennt man, dass das in [mm] $\IC$ [/mm] gerade die Menge aller Punkte $z=x+i*y$ sind, die den Abstand [mm] $R\,$ [/mm] von [mm] $z_0=x_0+i*y_0$ [/mm] haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Di 03.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Danke Marcel
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