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| Aufgabe | Man bestimme die Lösung der Gleichung:
[mm] (8z+5)^{4} [/mm] = [mm] (3-7z)^{4}
[/mm]
und gebe alle Lösungen in Normalform an.
Ich denke man sollte die Gleichung so umformen:
[mm] ((8z+5)/(3-7z))^{4} [/mm] = 0 |
Mir fehlt für diese Aufgabenstellung leider jeder Ansatz.
Würde mich sehr freuen wenn mir jemand den Lösungsweg zeigen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thomas_ern,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man bestimme die Lösung der Gleichung:
> [mm](8z+5)^{4}[/mm] = [mm](3-7z)^{4}[/mm]
> und gebe alle Lösungen in Normalform an.
>
> Ich denke man sollte die Gleichung so umformen:
> [mm]((8z+5)/(3-7z))^{4}[/mm] = 0
So verlierst Du Lösungen.
> Mir fehlt für diese Aufgabenstellung leider jeder Ansatz.
> Würde mich sehr freuen wenn mir jemand den Lösungsweg
> zeigen könnte.
Zerlege diese Gleichung gemäß der 3. binomischen Formel
[mm]\left(8z+5\right)^{4}=\left(3-7z\right)^4[/mm]
[mm]\gdw \left(8z+5\right)^{4}-\left(3-7z\right)^4=a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)[/mm]
Dann hast Du 2 quadratische Gleichungen, wovon die Lösungen zu bestimmen sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | [mm] (8z+5)^{4}=(3-7z)^{4} [/mm] |
Vielen Dank für den Tip!
[mm] (8z+5)^{4}=(3-7z)^{4}
[/mm]
[mm] \gdw (8z+5)^{4}-(3-7z)^{4}=0
[/mm]
[mm] a=(8z+5)^{2} [/mm] ; [mm] b=(3-7z)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{2}-b^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw (a-b)\*(a+b)=0
[/mm]
Die beiden zu Lösenden Gleichungen:
1. a-b=0
2. a+b=0
1. [mm] (8z+5)^{2}-(3-7z)^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw 15z^{2}+122z+16=0
[/mm]
[mm] \gdw z^{2}+122z/15+16/15=0
[/mm]
Da kann ich jetzt mit hilfe der p-q Formel die Lösungen bestimmen.
Da mir aber für diese Aufgabe kein Taschenrechner zur verfügung stehen würde, müsste es doch noch einen etwas anderen Weg für die Lösung geben, oder?
Nochmals vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm](8z+5)^{4}=(3-7z)^{4}[/mm]
> Vielen Dank für den Tip!
>
> [mm](8z+5)^{4}=(3-7z)^{4}[/mm]
> [mm]\gdw (8z+5)^{4}-(3-7z)^{4}=0[/mm]
>
> [mm]a=(8z+5)^{2}[/mm] ; [mm]b=(3-7z)^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^{2}-b^{2}=0[/mm]
> [mm]\gdw (a-b)\*(a+b)=0[/mm]
>
> Die beiden zu Lösenden Gleichungen:
> 1. a-b=0
> 2. a+b=0
>
> 1. [mm](8z+5)^{2}-(3-7z)^{2}=0[/mm]
> [mm]\gdw 15z^{2}+122z+16=0[/mm]
> [mm]\gdw z^{2}+122z/15+16/15=0[/mm]
>
> Da kann ich jetzt mit hilfe der p-q Formel die Lösungen
> bestimmen.
> Da mir aber für diese Aufgabe kein Taschenrechner zur
> verfügung stehen würde, müsste es doch noch einen etwas
> anderen Weg für die Lösung geben, oder?
Wieso denn ? Nimm doch die "pq - Formel" und Du wirst sehen, dass alles ganz einfach wird.
FRED
>
> Nochmals vielen Dank für die Hilfe!
>
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Mit der pq-Formel komme ich auf:
[mm] z_{1,2}=-61/15 \pm \wurzel{(61/15)^{2}-16/15}
[/mm]
[mm] \gdw z_{1,2}=-61/15 [/mm] +- [mm] \wurzel{3481/225}
[/mm]
- ohne Taschenrechner wird das zu viel Zeit kosten.
Die Frage stelle ich weil ich z.B. auch einen Lösungsweg suche um die Aufgabe: [mm] (1+z)^{5} [/mm] = [mm] (1-z)^{5} [/mm] zu lösen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Mit der pq-Formel komme ich auf:
>
> [mm]z_{1,2}=-61/15 \pm \wurzel{(61/15)^{2}-16/15}[/mm]
> [mm]\gdw z_{1,2}=-61/15[/mm]
> +- [mm]\wurzel{3481/225}[/mm]
[mm] 59^2 [/mm] = 3481
[mm] 15^2 [/mm] = 225
FRED
>
> - ohne Taschenrechner wird das zu viel Zeit kosten.
>
>
> Die Frage stelle ich weil ich z.B. auch einen Lösungsweg
> suche um die Aufgabe: [mm](1+z)^{5}[/mm] = [mm](1-z)^{5}[/mm] zu lösen.
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich habe es anhand des Beispiels: [mm] (1+2z)^{4}=(1-3z)^{4} [/mm] ausprobiert und so einfach ein Ergebnis bekommen.
Und folgende Gleichung löse ich so?
[mm] (1+z)^{5}=(1-z)^{5} [/mm]
mit [mm] a=(1+z)^{3} [/mm] ; [mm] b=(1-z)^{3} [/mm]
[mm] a^2-b^2=(a+b)(a-b)=0
[/mm]
1. a-b=0
[mm] a-b=0=(1+z)^3-(1-z)^{3} [/mm]
[mm] \gdw 2z^{3}+6z [/mm]
[mm] \gdw z(z^{2}+3)=0 [/mm] -> pq-Form.
2. a+b=0
[mm] a+b=0=(1+z)^3+(1-z)^{3}
[/mm]
[mm] \gdw 6z^2+2=0
[/mm]
[mm] \gdw z^2+2/6=0 [/mm] ->pq-Form.
Nochmal Danke und hoffentlich kann ich so auch jemanden weiter helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Ich habe es anhand des Beispiels: [mm](1+2z)^{4}=(1-3z)^{4}[/mm]
> ausprobiert und so einfach ein Ergebnis bekommen.
>
> Und folgende Gleichung löse ich so?
> [mm](1+z)^{5}=(1-z)^{5}[/mm]
>
> mit [mm]a=(1+z)^{3}[/mm] ; [mm]b=(1-z)^{3}[/mm]
> [mm]a^2-b^2=(a+b)(a-b)=0[/mm]
Nein !!!
Mit obigem a und b ist [mm] a^2-b^2 [/mm] = [mm] (1+z)^{6} [/mm] - [mm] (1-z)^{6}
[/mm]
FRED
>
> 1. a-b=0
> [mm]a-b=0=(1+z)^3-(1-z)^{3}[/mm]
> [mm]\gdw 2z^{3}+6z[/mm]
> [mm]\gdw z(z^{2}+3)=0[/mm] -> pq-Form.
>
> 2. a+b=0
> [mm]a+b=0=(1+z)^3+(1-z)^{3}[/mm]
> [mm]\gdw 6z^2+2=0[/mm]
> [mm]\gdw z^2+2/6=0[/mm] ->pq-Form.
>
> Nochmal Danke und hoffentlich kann ich so auch jemanden
> weiter helfen.
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| Aufgabe | | [mm] (1+z)^5=(1-z)^5 [/mm] |
Oh, natürlich! Vielen Dank Fred.
Aber wie würde der Lösungsansatz in dem Fall aussehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](1+z)^5=(1-z)^5[/mm]
> Oh, natürlich! Vielen Dank Fred.
> Aber wie würde der Lösungsansatz in dem Fall aussehen?
sagt Dir das Pascalsche Dreieck etwas? (Ansonsten musst Du halt rechnen, rechnen, rechnen...)
Damit gilt:
[mm] $$(1+z)^5-(1+(-z))^5$$
[/mm]
[mm] $$=1^5+5z^1+10z^2+10z^3+5z^4+z^5$$
[/mm]
[mm] $$-(1^5+5(-z)^1+10*(-z)^2+10*(-z)^3+5*(-z)^4+(-z)^5)$$
[/mm]
[mm] $$=10z+20z^3+2z^5$$
[/mm]
Du hast nun also die Gleichung [mm] $z(10+20z^2+2z^4)=0$ [/mm] zu lösen.
Gruß,
Marcel
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> Hallo Thomas_ern,
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> > Man bestimme die Lösung der Gleichung:
> > [mm](8z+5)^{4}[/mm] = [mm](3-7z)^{4}[/mm]
> > und gebe alle Lösungen in Normalform an.
> >
> > Ich denke man sollte die Gleichung so umformen:
> > [mm]((8z+5)/(3-7z))^{4}[/mm] = 0
>
>
> So verlierst Du Lösungen.
Schlimmer: die Umformung ist falsch !
rechts sollte eine 1 stehen, nicht 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 So 21.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Wie Mathepower schon schrieb, verlierst Du durch Deine Umformung Lösungen.
Zudem ist Deine Umformung falsch, da dort nicht $...\ = \ 0$ sondern $... \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] stehen müsste.
Gruß
Loddar
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