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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 09.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichung: [mm] log_{i}(z) [/mm] = [mm] \bruch{2*ln(z)}{i*\pi} [/mm] |
hey,
leider habe ich kein Idee wie ich die Aufgabe lösen kann ich hatte nur die Idee den Logarithmus auf der linken Seite zu beseitigen aber ich glaube das ist der falsche Weg. Ich wäre für einen Tipp dankbar.
Viele Grüße
Marcel
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Hallo,
das geht wie im Reellen auch bei solchen Aufgaben: einfach die Gleichung exponieren. Man muss nur beachten, dass die Basis des Logarithmus links die imaginäre Einheit ist.
Betrachte die Gleichung
[mm] z=i^{\bruch{2*ln(z)}{i*\pi}}
[/mm]
und beachte dabei auch noch die Eulersche Darstellung von i:
[mm] i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Dann löst sich hier alles sehr schnell in Wohlgefallen auf. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 09.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
sorry ich glaube ich habe gerade ein ziemliches Brett vor dem Kopf
bzw. bin mir nicht sicher ob das richtig ist :
$ [mm] z=e^{i*\bruch{1}{2}*\bruch{2\cdot{}ln(z)}{i\cdot{}\pi}} [/mm] $
z = [mm] e^{\bruch{ln(z)}{\pi}}
[/mm]
und falls was nun?
Viele Grüße
Marcel
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Hallo,
wo ist bei dir im Zähler des Exponenten das [mm] \pi [/mm] geblieben? Nochmal: es ist
[mm] i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Und die Kenntnis der Eulerschen Darstellung darf vorausgesetzt werden, wenn man sich mit komplexen Logarithmen befasst.
Weiter ist auch im Komplexen natürlich
[mm] e^{ln(z)}=z
[/mm]
Unabhängig von der Mehrdeutigkeit der komplexen Logarithmusfunktion. Überhaupt ist es eine wichtige Zusatzüberlegung hier, dass man sich klar macht, dass diese Mehrdeutigkeit hier keine Bedeutung hat (weshalb?).
Und eine weitere interessante Frage ist ja auch die nach dem Definitionsbereich des Logarithmus zur Basis i ...
Gruß, Diophant
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