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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 17.05.2011 | | Autor: | noname2k |
| Aufgabe | | Berechne alle komplexen Lösungen für [mm] z^8=-z^4 [/mm] und stellen Sie die Lösungen in Polardarstellung dar. |
Hallo,
das habe ich bis jetzt gemacht:
[mm] z^8+z^4=0
[/mm]
[mm] z^4(z^4+1)=0
[/mm]
Jetzt möchte ich [mm] z^4+1=0 [/mm] ausrechnen und habe mit [mm] x:=z^2 [/mm] substituiert.
[mm] x^2+1=0
[/mm]
[mm] x_{1}=i \wedge x_{2}=-i
[/mm]
Jetzt Rücksubstitution:
[mm] z_{1,2}=\wurzel{i} \wedge z_{3,4}=\wurzel{-i}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=\wurzel{0+1i}=\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}}+\wurzel{\bruch{-1}{2}}i)=\pm(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{i}{\wurzel{2}})=\pm(\bruch{1+i}{\wurzel{2}})
[/mm]
[mm] z_{3,4}=\wurzel{0-1i}=\pm(\wurzel{\bruch{1}{2}}-\wurzel{\bruch{1}{2}}i)=\pm(\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}})=\pm(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})
[/mm]
Habe hoffentlich keine Fehler beim abtippen gemacht aber das müsste doch soweit korrekt sein oder?
Kann mir jemand noch einen Anstoss geben wie ich nun zu der Polardarstellung komme?
Wenn z=a+bi ist, berechnet man ja arg(z) z.b. mit [mm] arctan(\bruch{b}{a}) [/mm] für a>0 um dann den Winkel für die Polardarstellung zu bekommen aber ich weiß nicht so genau wie ich das auf meine Ergebnisse anwenden muss.
Das habe ich versucht:
[mm] \pm(\wurzel{\bruch{1}{2}}+\wurzel{\bruch{-1}{2}}i) [/mm] kann ich hier sagen das b>0 ist???
Dann hab ich [mm] arg(z)=arctan(\bruch{\wurzel{\bruch{-1}{2}}}{\wurzel{\bruch{1}{2}}}) [/mm] versucht aber da ist der Zähler ja negativ. Muss ich davon jetzt auch noch die komplexen Lösungen berechnen und damit weitermachen oder geht man an die Polardarstellung anders heran?
Schonmal danke für Tipps.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
deine Lösungen stimmen!
> polarform berechnen
>Ansatz
Das ist falsch, $\sqrt{\frac{-1}{2}}$ hier kannst du im Komplexen noch ein i rausholen! Deine b's wären jeweils $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$!
eine zahl muss in polar und koordinatenform im selben Quadranten liegen. Schaue in welchem Quadranten deine Zahl liegt, rechne mit $arctan\frac{b}{a}$ das "falsche" Argument aus und mit $\sqrt{a^{2}+b^{2}$ den Betrag und wandle die Zahl wieder in Normalform züruck. Dann siehst du direkt um wie viel du das Argument anpassen musst in der Polarform!
Gruss
kushkush
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