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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 14.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle komplexen Lösungen
[mm] z^2 [/mm] - 5z + 5-3i=0 |
Hab Probleme mit der Glg.
[mm] z_{1,2} [/mm] = 5/2 [mm] \pm \wurzel{ 25/4 -5+3i}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = 5/2 [mm] \pm \wurzel{ 5/4+3i}
[/mm]
z= [mm] n^2
[/mm]
z= 5/4+3i
n= (a+bi)
[mm] n^2= (a^2-b^2) [/mm] + i * (2ab)
I [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 5/4
II 2ab=3
III |z| = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
III [mm] \wurzel{ 169/16} =a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
I + II
-> wie soll ich das ohne TR lösen
LG
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Hallo sissile,
> Bestimmen sie alle komplexen Lösungen
> [mm]z^2[/mm] - 5z + 5-3i=0
> Hab Probleme mit der Glg.
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = 5/2 [mm]\pm \wurzel{ 25/4 -5+3i}[/mm]
> [mm]z_{1,2}[/mm] = 5/2 [mm]\pm \wurzel{ 5/4+3i}[/mm]
>
> z= [mm]n^2[/mm]
> z= 5/4+3i
> n= (a+bi)
> [mm]n^2= (a^2-b^2)[/mm] + i * (2ab)
>
> I [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm] = 5/4
> II 2ab=3
> III |z| = [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm]
> III [mm]\wurzel{ 169/16} =a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm]
>
> I + II
> -> wie soll ich das ohne TR lösen
>
Hier ist etwas anders vorzugehen:
Löse Gleichung II nach einer Variablen auf
und ersetze sie in Gleichung I.
Löse dann Gleichung I nach der anderen Variablen auf.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 14.12.2011 | | Autor: | sissile |
> > Bestimmen sie alle komplexen Lösungen
> > $ [mm] z^2 [/mm] $ - 5z + 5-3i=0
> > $ [mm] z_{1,2} [/mm] $ = 5/2 $ [mm] \pm \wurzel{ 25/4 -5+3i} [/mm] $
> > $ [mm] z_{1,2} [/mm] $ = 5/2
> $ [mm] \pm \wurzel{ 5/4+3i} [/mm] $
> >
> > z= $ [mm] n^2 [/mm] $
> > z= 5/4+3i
> > n= (a+bi)
> > $ [mm] n^2= (a^2-b^2) [/mm] $ + i * (2ab)
> >
> > I $ [mm] a^2 [/mm] $ - $ [mm] b^2 [/mm] $ = 5/4
> > II 2ab=3
> Löse Gleichung II nach einer Variablen auf
> und ersetze sie in Gleichung I.
> Löse dann Gleichung I nach der anderen Variablen auf
II a= 3/2b
I $ [mm] 9/(4b^2) [/mm] $ - $ [mm] b^2 [/mm] $ = 5/4
<=> $ [mm] -4b^4 [/mm] $ - $ [mm] 5b^2 [/mm] $ +9=0
<=> $ [mm] -4u^2-5u [/mm] $ + 9 =0
$ [mm] u_{1,2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{5 \pm \wurzel{25+144}}{-8} [/mm] $
[mm] u_{1,2} [/mm] =$ [mm] \frac{5 \pm 13}{-8} [/mm] $
$ [mm] u_1 [/mm] $ = 1, $ [mm] u_2 [/mm] $ = -9/4
$ [mm] b_1= [/mm] $ 1, $ [mm] b_2 [/mm] $ = -3/2
Stimmt dass so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mi 14.12.2011 | | Autor: | sissile |
Da kann irgendwo etwas nicht simmen. FInde meinne fehler im letzter Beitrag aber nicht!
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Hallo sissile,
> > > Bestimmen sie alle komplexen Lösungen
> > > [mm]z^2[/mm] - 5z + 5-3i=0
>
> > > [mm]z_{1,2}[/mm] = 5/2 [mm]\pm \wurzel{ 25/4 -5+3i}[/mm]
> > > [mm]z_{1,2}[/mm] =
> 5/2
> > [mm]\pm \wurzel{ 5/4+3i}[/mm]
> > >
> > > z= [mm]n^2[/mm]
> > > z= 5/4+3i
> > > n= (a+bi)
> > > [mm]n^2= (a^2-b^2)[/mm] + i * (2ab)
> > >
> > > I [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm] = 5/4
> > > II 2ab=3
>
> > Löse Gleichung II nach einer Variablen auf
> > und ersetze sie in Gleichung I.
> > Löse dann Gleichung I nach der anderen Variablen auf
>
> II a= 3/2b
> I [mm]9/(4b^2)[/mm] - [mm]b^2[/mm] = 5/4
> <=> [mm]-4b^4[/mm] - [mm]5b^2[/mm] +9=0
> <=> [mm]-4u^2-5u[/mm] + 9 =0
> [mm]u_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{5 \pm \wurzel{25+144}}{-8}[/mm]
> [mm]u_{1,2}[/mm] =[mm] \frac{5 \pm 13}{-8}[/mm]
>
> [mm]u_1[/mm] = 1, [mm]u_2[/mm] = -9/4
> [mm]b_1=[/mm] 1, [mm]b_2[/mm] = -3/2
[mm]b_{2}[/mm] muss lauten: [mm]b_{2}=\pm i*\bruch{3}{2}[/mm]
Für [mm]b_{1}[/mm] gibt es natürlich auch zwei Lösungen:
[mm]b_{1}=\pm 1[/mm]
> Stimmt dass so?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 14.12.2011 | | Autor: | sissile |
ah, gut danke!
$ [mm] b_{2} [/mm] $ muss lauten: $ [mm] b_{2}=\pm i\cdot{}\bruch{3}{2} [/mm] $
$ [mm] b_{1}=\pm [/mm] 1 $
a= 3/(2b)
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 3/2
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 3/2 [mm] \pm [/mm] i
[mm] z_2 [/mm] = i * 1/2
[mm] z_3 [/mm] = - i * 1/2
Ist das korrekt und jetzt noch jeweils 5/2 [mm] \pm [/mm] z ?
[mm] z_1= [/mm] 1-i
[mm] z_2=4+i
[/mm]
[mm] z_3=5/2 [/mm] + i/2
[mm] z_4 [/mm] = 5/2 -i/2
Problem: In Musterlösung ist [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] genauso da aber [mm] z_3 [/mm] und [mm] z_4 [/mm] gibt es nicht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Do 15.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a und b waren doch reelle Zahlen, also hast du nur b1=1, b2=-1 a1=3/2 [mm] a_2=-3/2
[/mm]
sonst keine lösung. eine wuadratwurzel hat immer nur 2 Lösungen.
Gruss leduart
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