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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 17.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | a) Bestimme [mm] \integral_{\partial D_2(0)}{\bruch{e^z}{(z-1)^n} dz} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
b) Sei [mm] \gamma [/mm] ein Integrationsweg in [mm] \IC [/mm] von 0 nach 2 mit 1 [mm] \not\in Sp(\gamma). [/mm] Welche Werte sind dann für das Integral [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz}
[/mm]
möglich? |
Hallo,
zu a) hier gedenke ich die CIF für Ableitungen zu verwenden:
[mm] \integral_{\partial D_2(0)}{\bruch{e^z}{(z-1)^n} dz} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi i}{(n-1)!} f^{(n-1)}(1) =\bruch{2 \pi i e}{(n-1)!} [/mm]
zu b) Hier weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll weil [mm] \gamma [/mm] ja beliebig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 So 19.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hat niemand eine Idee? Speziell für Teil b)? Hier hab ich nämlich keinen Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 20.07.2015 | | Autor: | fred97 |
a) hast Du richtig.
Zu b): zunächst ist $ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }- [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}$
[/mm]
1. Zeige durch direkte Rechnung: [mm] $\integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }=-1$
2. Setze [mm] c(t):=1+e^{-it} [/mm] , $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$, [/mm] und zeige durch direkte Rechnung:
$ [mm] \integral_{c} {\bruch{1}{z-1} dz}=-i \pi$
[/mm]
3. Setze [mm] \Gamma:=\gamma+c. [/mm] Dann ist [mm] \Gamma [/mm] ein geschlossener Integrationsweg und
[mm] $\integral_{\Gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)$,
[/mm]
wobei $ind$ die Umlaufzahl bezeichne.
Damit haben wir:
$2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)=$\integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}+$\integral_{c} {\bruch{1}{z-1} dz}=\integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}-i \pi$,
[/mm]
also
$ [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}= [/mm] i [mm] \pi [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)= [/mm] i [mm] \pi(1+2*ind(\Gamma,1))$
[/mm]
Daher haben wir:
$ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }- [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}=-1- [/mm] i [mm] \pi(1+2*ind(\Gamma,1))$
[/mm]
Nun ist $ [mm] ind(\Gamma,1) \in \IZ$. [/mm] Das liefert:
$ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} \in \{-1+(2k+1) \pi i: k \in \IZ\}=:M.$
[/mm]
Fazit: die Werte, die [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] annehmen kann, liegen in $M$.
So, nun zeige Du durch geeignete Wahl von [mm] \gamma:
[/mm]
ist $m [mm] \in [/mm] M$, so gibt es einen Integrationsweg [mm] \gamma_m [/mm] in $ [mm] \IC [/mm] $ von 0 nach 2 mit 1 $ [mm] \not\in Sp(\gamma_m) [/mm] $ und
[mm] $\integral_{\gamma_m}{\bruch{z}{1-z} dz}=m$
[/mm]
Viel Spass
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Di 21.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Fred, danke für deine Erklärungen!!!
Ein Integral hätte ich noch:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx} [/mm] soll für alle t [mm] \in \IR [/mm] berechnet werden.
Ich erhalte [mm] res(f,-i)=ite^t [/mm] und damit für das Integral den Wert 2 [mm] \pi te^t
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 21.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für deine Erklärungen!!!
>
> Ein Integral hätte ich noch:
>
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx}[/mm]
> soll für alle t [mm]\in \IR[/mm] berechnet werden.
>
> Ich erhalte [mm]res(f,-i)=ite^t[/mm] und damit für das Integral den
> Wert 2 [mm]\pi te^t[/mm]
>
Zeige Deine Rechnungen ! Was ist bei Dir f ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 21.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] f(z)=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2}. [/mm] f hat ja in -i (Imaginärteil <0) einen Pol zweiter Ordnung
[mm] [(z+i)^2 [/mm] f(z)]'= [mm] ite^{itz} [/mm] ---> GW für z gegen -i: [mm] ite^t
[/mm]
Also für t<0 ergibt sich für das Integral der Wert 2 [mm] \pi te^t
[/mm]
Und für t>0 ergibt sich der Wert 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 21.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(z)=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2}.[/mm] f hat ja in -i
> (Imaginärteil <0) einen Pol zweiter Ordnung
>
> [mm][(z+i)^2[/mm] f(z)]'= [mm]ite^{itz}[/mm] ---> GW für z gegen -i: [mm]ite^t[/mm]
>
> Also für t<0 ergibt sich für das Integral der Wert 2 [mm]\pi te^t[/mm]
Wieso ?????
>
> Und für t>0 ergibt sich der Wert 0?
Wieso ???
Lies das mal:
https://matheraum.de/read?i=1062296
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 21.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich hab keine Ahnung wie Du gerechnet hast. Aber ich bin mir sicher dass es falsch ist, denn
$| [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx}| \le \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{|e^{i t x}|}{|x+i|^2} dx} =\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}= \pi$ [/mm] .
Wäre Deine Rechnung richtig, so hätten wir
$ 2 [mm] \pi [/mm] | [mm] t|e^t \le \pi$ [/mm] für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
Also
$ | [mm] t|e^t \le \bruch{1}{2}$ [/mm] für alle t [mm] \in \IR,
[/mm]
was sicher nicht stimmt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 21.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Und wie würde man dann vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Und wie würde man dann vorgehen?
Ich zeig Dir mal, wie ich das gemacht habe für t [mm] \ge [/mm] 0.
(Den Fall t<0 darfst Du Dir selbst überlegen).
Sei [mm] f(z):=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2} [/mm] und [mm] $G:=\{z \in \IC: Im(z)>-1\}. [/mm] Dann ist f auf G holomorph und G ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.
Sei R>1,
[mm] K_R(x):=Re^{ix} [/mm] für $x [mm] \in [0,\pi]$ [/mm] , [mm] S_R(x)=x [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-R,R]$
und [mm] C_R:=K_R+S_R. [/mm] Dann ist [mm] C_R [/mm] ein geschlossener Integrationsweg in G.
Nach Cauchy ist also:
[mm] \integral_{C_R}^{}{f(z) dz}=0.
[/mm]
Somit:
(*) $ [mm] \integral_{- R}^{R}{f(x) dx} =\integral_{S_R}^{}{f(z) dz}=-\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}$
[/mm]
Nun sei $z [mm] \in Sp(K_R)$
[/mm]
Dann ist
(1) $R-1=|z|-|i| [mm] \le [/mm] |z+i|$, also [mm] $|z+i|^2 \ge (R-1)^2$
[/mm]
und
[mm] $|e^{itz}|=e^{-t*Im(z)}$
[/mm]
Wegen t [mm] \ge [/mm] 0 und Im(z) [mm] \ge [/mm] 0 ist dann
(2) [mm] |e^{itz}| \le [/mm] 1.
Aus (1) und (2) folgt:
$|f(z)| [mm] \le \bruch{1}{(R-1)^2}$.
[/mm]
Daraus folgt nun mit der Standardabschätzung für Wegintegrale:
$ [mm] |\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}| \le \bruch{1}{(R-1)^2}* \pi*R$.
[/mm]
(Länge von [mm] K_R [/mm] = [mm] $\pi*R$).
[/mm]
Also haben wir: $ [mm] |\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}| \to [/mm] 0$ für $R [mm] \to \infty$.
[/mm]
Aus (*) folgt schließlich
$ [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}=0$
[/mm]
FRED
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