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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Intervallschachtelung
Komplexe Intervallschachtelung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Intervallschachtelung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 So 22.12.2013
Autor: Petrit

Aufgabe
Seien a [mm] \le [/mm] b und c [mm] \le [/mm] d reelle Zahlen. Dann wird das kompakt komplexe "Intervall" [a,b]x[c,d] definiert durch:
[a,b]x[c,d] := [mm] \{x+iy \in\IC | a \le x \le b \wedge c \le y \le d\}. [/mm]
Ferner wird eine Folge [mm] (I_{n})_{n\in\IN} [/mm] kompakter, nicht-leerer, komplexer Intervalle mit [mm] I_{n+1} \subseteq I_{n} [/mm] (für alle [mm] n\in\IN) [/mm] als (kompakte) komplexe Intervallschachtelung bezeichnet.
Zu zeigen:
(a) Der Durchschnitt jeder kompakten komplexen Intervallschachtelung [mm] ([a_{n},b_{n}] [/mm] x [mm] [c_{n},d_{n}])n\in\IN [/mm] ist nicht-leer.
(b) Falls zusätzlich [mm] |b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] und [mm] |d_{n} [/mm] - [mm] c_{n}| [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 gehen, dann liegt im Durchschnitt all dieser Intervalle genau eine komplexe Zahl.

Hallo!
Ich habe bei dieser Aufgabe überhaupt keinen blassen Schimmer, wie ich diese angehen soll. Deshalb würde ich mich freuen, wenn ihr mir ein paar Tipps bzw. Hinweise geben könnten, wie ich das zeigen kann.

Ich danke schonmal und viele Grüße, Petrit!

        
Bezug
Komplexe Intervallschachtelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 So 22.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Seien a [mm]\le[/mm] b und c [mm]\le[/mm] d reelle Zahlen. Dann wird das
> kompakt komplexe "Intervall" [a,b]x[c,d] definiert durch:
> [a,b]x[c,d] := [mm]\{x+iy \in\IC | a \le x \le b \wedge c \le y \le d\}.[/mm]

>

> Ferner wird eine Folge [mm](I_{n})_{n\in\IN}[/mm] kompakter,
> nicht-leerer, komplexer Intervalle mit [mm]I_{n+1} \subseteq I_{n}[/mm]
> (für alle [mm]n\in\IN)[/mm] als (kompakte) komplexe
> Intervallschachtelung bezeichnet.
> Zu zeigen:
> (a) Der Durchschnitt jeder kompakten komplexen
> Intervallschachtelung [mm]([a_{n},b_{n}][/mm] x
> [mm][c_{n},d_{n}])n\in\IN[/mm] ist nicht-leer.
> (b) Falls zusätzlich [mm]|b_{n}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] und [mm]|d_{n}[/mm] - [mm]c_{n}|[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm] gegen 0 gehen, dann liegt im Durchschnitt
> all dieser Intervalle genau eine komplexe Zahl.
> Hallo!
> Ich habe bei dieser Aufgabe überhaupt keinen blassen
> Schimmer, wie ich diese angehen soll. Deshalb würde ich
> mich freuen, wenn ihr mir ein paar Tipps bzw. Hinweise
> geben könnten, wie ich das zeigen kann.

Na ja, a) ist so dermaßen einfach, dass man Mühe hat, das formal zu zeigen. Du könntest ausnutzen, dass die einzelnen Intervalle solch einer komplexen Intervallschachtelung per Voraussetzung nichtleer sind (das sagt etwas über die [mm] a_n, b_n, c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] aus!). Welches ist wohl der Durchschnitt?

Bei b) kann man das Sandwich-Lemma verwenden.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Komplexe Intervallschachtelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 22.12.2013
Autor: Helbig

Hallo Petrit,

zu a)
Die Formulierung mit dem "Durchschnitt jeder komplexen Intervallschachtelung" verstehe ich nicht. Ich denke aber, es heißt:
    Die Menge [mm] $[a_n; b_n]\times [c_n; d_n]$ [/mm] ist für jedes $n$ nichtleer.
Dies ist leicht zu zeigen, indem man ein Element des kartesischen Produktes angibt.

zu b) Übertrage den Satz der reellen Intervallschachtelung auf's Zweidimensionale.

Grüße,
Wolfgang

Bezug
        
Bezug
Komplexe Intervallschachtelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Mo 23.12.2013
Autor: fred97

Zu a):

Wähle in jedem [mm] I_n [/mm] einen Punkt [mm] z_n. [/mm] Die Folge [mm] (z_n) [/mm] ist beschränkt, also besitzt [mm] (z_n) [/mm] nach Bolzano- Weierstraß einen Häufungspunkt [mm] z_0. [/mm]

Zeige: [mm] z_0 \in I_n [/mm] für alle n.

Zu b): sei [mm] (z_n) [/mm] wie oben. Zeige: [mm] (z_n) [/mm] ist konvergent und

[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{ \limes_{n\rightarrow\infty}z_n \} [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Komplexe Intervallschachtelung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Mo 23.12.2013
Autor: Petrit

Super, danke für die vielen Tipps und Hinweise. Hab es nun hinbekommen!
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch euch allen!

Viele Grüße, Petrit!

Bezug
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