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Komplexe Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Di 02.01.2018
Autor: schokoschnecke

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral [mm] $\int_ \gamma [/mm] f(z)\ dz$, wobei [mm] $\gamma [/mm] (t) = [mm] e^{it} [/mm] \ (0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \leq 2\pi) [/mm] $ sei.

a) $f(z) = [mm] \frac{-e^{1/z}}{z^2}$ [/mm]

b) $f(z) = [mm] |z|^2 \cdot e^{\sin z}$ [/mm]

Bemerkung: Wenn Sie geschickt vorgehen, müssen Sie kein einziges der Integrale tatsächlich berechnen.

Hallo,

ich sitze an den beiden oben gegebenen komplexen Kurvenintegralen und bekomme sie einfach nicht gelöst. Wenn ich das richtig sehe, dann sind beide Funktionen nicht holomorph (sonst wäre das Integral null, weil es eine geschlossene Kurve ist?). Aufgabe a habe ich versucht mit dem Cauchyschen Integralsatz zu lösen, (mit [mm] $z_0 [/mm] = 0$), aber dann komme ich auf:

[mm] $\int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} [/mm] dz = [mm] \int_C \frac{-e^{1/z}}{(z-z_0)^2} [/mm] dz = [mm] \frac{2\pi i}{(n-1)!} f^{(n-1)} (z_0) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \cdot \frac{e^{1/z}}{z^2}$ [/mm] = [mm] 2\pii \cdot \frac{e^{1/0}}{0}. [/mm]
Da müsste ich dann ja durch Null teilen, kann man das irgendwie lösen oder ist der Ansatz falsch?

Bei Aufgabe b vermute ich einfach mal, dass die Funktion nicht holomorph ist, da |$z$| nicht holomorph ist. Wie ich das Integral allerdings lösen soll, ohne tatsächlich das Kurvenintegral zu berechnen, verstehe ich nicht.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

        
Bezug
Komplexe Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Di 02.01.2018
Autor: fred97


> Berechnen Sie das Integral [mm]\int_ \gamma f(z)\ dz[/mm], wobei
> [mm]\gamma (t) = e^{it} \ (0 \leq t \leq 2\pi)[/mm] sei.
>
> a) [mm]f(z) = \frac{-e^{1/z}}{z^2}[/mm]
>  
> b) [mm]f(z) = |z|^2 \cdot e^{\sin z}[/mm]
>  
> Bemerkung: Wenn Sie geschickt vorgehen, müssen Sie kein
> einziges der Integrale tatsächlich berechnen.
>  Hallo,
>  
> ich sitze an den beiden oben gegebenen komplexen
> Kurvenintegralen und bekomme sie einfach nicht gelöst.
> Wenn ich das richtig sehe, dann sind beide Funktionen nicht
> holomorph (sonst wäre das Integral null, weil es eine
> geschlossene Kurve ist?). Aufgabe a habe ich versucht mit
> dem Cauchyschen Integralsatz zu lösen, (mit [mm]z_0 = 0[/mm]), aber
> dann komme ich auf:
>  
> [mm]\int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} dz = \int_C \frac{-e^{1/z}}{(z-z_0)^2} dz = \frac{2\pi i}{(n-1)!} f^{(n-1)} (z_0) = 2\pi i \cdot \frac{e^{1/z}}{z^2}[/mm]
> = [mm]2\pii \cdot \frac{e^{1/0}}{0}.[/mm]

Schreck lass nach !


> Da müsste ich dann ja durch Null teilen, kann man das
> irgendwie lösen oder ist der Ansatz falsch?

Völlig falsch ! Um nicht zu sagen: völliger Unsinn (mit Verlaub...)

Nimm die Potenzreihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] her, berechne damit die Laurentreihe von [mm] e^{1/z} [/mm] um 0 und dann die Laurentreihe von f um 0.

Damit haben wir (überzeuge Dich davon !) die Form  

f(z)= [mm] \sum_{n=2}^{\infty}a_nz^{-n}. [/mm]

Nun darfst Du Integration und Summation vertauschen (warum ?) und jedes der Integrale über [mm] a_nz^{-n} [/mm] fällt =0 aus (warum ?, keines dieser Integrale musst Du berechnen !)


>
> Bei Aufgabe b vermute ich einfach mal, dass die Funktion
> nicht holomorph ist, da |[mm]z[/mm]| nicht holomorph ist. Wie ich
> das Integral allerdings lösen soll, ohne tatsächlich das
> Kurvenintegral zu berechnen, verstehe ich nicht.

Mit der Def. des Kurvenintegrals sieht man: $ [mm] \int_ \gamma [/mm] f(z)\ dz = [mm] \int_ \gamma e^{\sin z}\ [/mm] dz $, denn [mm] |z|^2=1 [/mm] für [mm] z=e^{it} [/mm]


>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?


Bezug
                
Bezug
Komplexe Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 02.01.2018
Autor: schokoschnecke

Danke :) Teil b leuchtet mir ein, Teil a allerdings nicht. Wir hatten bis jetzt keine Laurentreihen, sondern nur die Cauchyschen Integralformeln und den Cauchyschen Integralsatz. Kann man mit dem Wissen das Integral irgendwie lösen?

Bezug
                        
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Komplexe Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 02.01.2018
Autor: fred97


> Danke :) Teil b leuchtet mir ein, Teil a allerdings nicht.
> Wir hatten bis jetzt keine Laurentreihen, sondern nur die
> Cauchyschen Integralformeln und den Cauchyschen
> Integralsatz. Kann man mit dem Wissen das Integral
> irgendwie lösen?  

O.K., dann vergiss einfach den Namen Laurent.  Mach das was ich Dir gesagt habe.


Bezug
                        
Bezug
Komplexe Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Mi 03.01.2018
Autor: donquijote


> Danke :) Teil b leuchtet mir ein, Teil a allerdings nicht.
> Wir hatten bis jetzt keine Laurentreihen, sondern nur die
> Cauchyschen Integralformeln und den Cauchyschen
> Integralsatz. Kann man mit dem Wissen das Integral
> irgendwie lösen?  

Hallo,
f hat eine Stammfunktion. Vielleicht hilft das weiter.

Bezug
                                
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Komplexe Kurvenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mi 03.01.2018
Autor: fred97


> > Danke :) Teil b leuchtet mir ein, Teil a allerdings nicht.
> > Wir hatten bis jetzt keine Laurentreihen, sondern nur die
> > Cauchyschen Integralformeln und den Cauchyschen
> > Integralsatz. Kann man mit dem Wissen das Integral
> > irgendwie lösen?  
>
> Hallo,
>  f hat eine Stammfunktion. Vielleicht hilft das weiter.


Wie konnte ich das übersehen ..... ?




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Komplexe Kurvenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 Mi 03.01.2018
Autor: schokoschnecke

Das hilft mir weiter, danke vielmals! :) :)

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