Komplexe Lös einer Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Traxx |
| Aufgabe | | Geben Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm] \exp^{iz}=1 [/mm] an. |
Hallo zusammen,
ich sitze vor dieser Aufgabe und finde keinen wirklichen Lösungsansatz.
Nur das [mm] 1=\exp^{i2\pi}=\exp^{i0} [/mm] ist...
Hat jemand einen Gedankenanstoß für mich?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm]\exp^{iz}[/mm] =
> 1 an.
> Hallo zusammen,
> ich sitze vor dieser Aufgabe und finde keinen wirklichen
> Lösungsansatz.
>
> Nur das 1 = [mm]\exp^{i2PI}=exp^{i0}[/mm] ist...
Schreibe $z = a + i b$; dann ist [mm] $e^{i z} [/mm] = [mm] e^{i a + i^2 b} [/mm] = [mm] e^{i a} e^{- b} [/mm] = [mm] (\cos [/mm] a + i [mm] \sin [/mm] b) [mm] e^{-b}$.
[/mm]
Damit dies gleich $1$ ist, muss also insbesondere [mm] $\cos [/mm] a + i [mm] \sin [/mm] b$ eine positive reelle Zahl sein. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn [mm] $\cos [/mm] a = 1$ und [mm] $\sin [/mm] b = 0$ ist. Damit dann aber [mm] $e^{i z} [/mm] = 1$ sein muss, muss auch [mm] $e^{- b} [/mm] = 1$ sein.
Daraus bekommst du die (notwendigen und hinreichenden) Bedingungen [mm] $\cos [/mm] a = 1$, [mm] $\sin [/mm] a = 0$ und $b = 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Traxx |
Bitte kurz um Erklärung
[mm]e^{ai}*e^{-b} = (cos a + i sin b)*e^{-b}[/mm]
laut Def. ist aber
[mm]e^{iz} = cos z + i sin z[/mm]
wäre es dann nicht?
[mm]e^{ai}*e^{-b} = (cos a + i sin a)*e^{-b}[/mm]
Trotzdem Danke für Deinen super Einsatz ;)
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Hi Traxx!
$ [mm] e^{ai}\cdot{}e^{-b} [/mm] = (cos a + i sin [mm] a)\cdot{}e^{-b} [/mm] $
ist natürlich richtig!
Scheint sich nur um einen Schreibfehler zu handeln!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 11.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]e^{ai}\cdot{}e^{-b} = (cos a + i sin a)\cdot{}e^{-b}[/mm]
> ist
> natürlich richtig!
> Scheint sich nur um einen Schreibfehler zu handeln!
Ja, ist auch einer! Dank euch beiden fuer den Hinweis!
LG Felix
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