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Hallihallo:),
Finden sie die komplexwertigen LÖsungen von:
z²=-8+i6
Kann mir da jemand einen Lösungansatz oder einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe rangehe?das wäre sehr nett.danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
Wenn du eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen willst, kannst du die entsprechenden Werte in eine Formel in diesem Artikel einsetzen. Suche dort nach einer Formel, die mit [mm]\sqrt[n]{a+bi}[/mm] anfängt. Und vergiss nicht: [mm](-z)^2=z^2[/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Hi, ich muss diese Aufgabe auch lösen. Bin so weit:
z= [mm] \wurzel{-8+6i}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\wurzel{-8^2+6^2}}(cos\bruch{arctan(\bruch{6}{8})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] + [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{6}{8})+\bruch{\pi}{2}}{2}
[/mm]
(ich habe plus [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] weil die Zahl im zweiten Quadranten liegt, ist das richtig?)
weiter kommt da dann
[mm] \wurzel{10} ((cos\bruch{arctan(\bruch{3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] + [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wie komme ich jetzt auf den arctan von [mm] \bruch{3}{4}. [/mm] Darf ja eigentlich keinen Taschenrechner benutzen.
Und wenn ich dann den richtigen Winkel habe, wie geht es dann weiter?
Dankeschön!
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Hallo, deine Lösung ist ja schon fast richtig. Du hast nur bei der Berechnung des Zwischenwinkels übersehen, dass der Realteil ein negatives Vorzeichen hat. Folglich ist dieser dann:
[mm] \alpha=arctan(-3/4) [/mm] + [mm] \pi/2
[/mm]
Du musst außerdem beachten, dass es immer n Lösungen gibt, wenn
[mm] z^{n} [/mm] = a gelöst werden soll. Diese mehreren Lösungen ergeben sich dadurch, dass der Zwischenwinkel [mm] \alpha [/mm] auch Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] annimmt.
[mm] \alpha_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha+2\pi*k}{n} [/mm] mit $k= 0, ..., n-1$
Deine erste Lösung ist dann:
$ z1= [mm] \wurzel{10} (cos\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2})$
[/mm]
Deine zweite Lösung ist:
$z2= [mm] \wurzel{10} (cos\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{5\pi}{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{5\pi}{2}}{2})$
[/mm]
Die Aufgabe gestaltet sich aber deutlich einfacher, wenn man die folgende Beziehung nutzt: [mm] e^{i*\alpha} [/mm] = [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] i*sin(\alpha)
[/mm]
In deiner Aufgabe wird dann die komplexe Zahl -8+6i zu ungefähr [mm] 10*e^{2,498i}. [/mm] Das Wurzelziehen ist nun deutlich leichter, aber du musst dennoch die Periodizität von [mm] k*2\pi [/mm] beachten.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Ja, super!
D.h. ich muss [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] gar nicht umwandeln und es reicht, wenn ich es so lasse?
Die andere Rechung wäre dann also:
-8 + 6i = |z| * [mm] e^{i\alpha}
[/mm]
z1 = 10* [mm] e^{i~2,5}^\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{i\bruch{5}{4}}
[/mm]
z2 = 10* [mm] e^{i~10}^\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{i5}
[/mm]
Ist das so korrekt? War nicht sicher, wie man [mm] \alpha [/mm] berechnet. Wahrscheinlich [mm] arctan\bruch{b}{a} [/mm] + [mm] \pi [/mm] ? und dann plus [mm] 2\pi [/mm] wegen der Periodizität?
Aber vielen Dank!!
Im Zweifelsfall kann ich ja dann meinen langen Weg nehmen ;)
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Hi, ja [mm] $\alpha=arctan(\bruch{Im(z)}{Re(z)})$
[/mm]
In deinem Fall muss noch [mm] \pi [/mm] dazu addiert werden. Die [mm] \pi/2 [/mm] in meiner ersten Antwort sind Schwachsinn, sorry für die Verwirrung. Deine Lösungen sind dann aber trotzdem falsch.
[mm] $z^2 [/mm] = 6i-8 = [mm] \wurzel{6^2+(-8)^2}*e^{i(arctan(\bruch{-3}{4})+\pi)}\approx 10*e^{2,498i}$
[/mm]
Es gibt jetzt folgende k Lösungen ($k= 0, ..., n-1$):
$z0 = [mm] \wurzel{10*e^{i(2.498+0*2\pi)}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^\bruch{2.498i}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{1,249i}$
[/mm]
$z1 = [mm] \wurzel{10*e^{i(2.498+1*2\pi)}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{\bruch{8,781i}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{4,391i}$
[/mm]
Wenn du im Taschenrechner die genauen Werte eingespeichert hast, kannst du deine Ergebnisse wieder auf die "klassische" Form bringen:
$z0 = [mm] \wurzel{10}*e^{1,249i} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*(cos(1,249)+isin(1,249)) [/mm] = 1+3i$
$z1 = [mm] \wurzel{10}*e^{4,391i} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*(cos(4,391)+isin(4,391)) [/mm] = -1-3i$
Wenn du Zeit sparen willst, ist ein anderer Ansatz die quadratische Ergänzung:
[mm] $z^2 [/mm] = 6i-8 = 6i-9+1 = [mm] 6i-9-i^2 [/mm] = [mm] -(i-3)^2 [/mm] = [mm] i^2*(i-3)^2$
[/mm]
$z0 = [mm] \wurzel{i^2*(i-3)^2} [/mm] = i*(+(i-3)) = [mm] i^2-3i [/mm] = -1-3i$
$z1 = [mm] \wurzel{i^2*(i-3)^2} [/mm] = i*(-(i-3)) = [mm] -i^2+3i [/mm] = 1+3i$
Wie du siehst ist $z0=-z1$, d.h. wenn du eine Hälfte der Lösung kennst, kennst du in Zukunft bei Augabentypen von [mm] $z^n [/mm] (n gerade)$ auch die zweite. Bei den reellen Zahlen ist es ja genauso. Puh hat das lange gedauert mit diesem nervigen Editor ^^.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 So 08.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Ohje, jetzt bin ich wirklich etwas verwirrt.
Ich dachte, ich muss [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] addieren, weil die Zahl im 2.Quadranten liegt!? Oder hat das was mit dem negativen Vorzeichen von [mm] \alpha [/mm] zu tun?
Wenn ich [mm] \pi [/mm] zu dem negativen Wert addiere, liegt es ja immer noch im zweiten Quadranten, oder? D.h. wenn ich mit [mm] +\bruch{3}{4} [/mm] gerechnet hätte, wäre ich zum gleichen Ergebnis gekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 So 08.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Aoide,
der Arcustangens, den Du zum Bestimmen des Winkels nimmst, ist pi-periodisch. Durch das negative Vorzeichen beim Imaginärteil liefert Dir Dein Taschenrechner einen negativen Winkel, etwas mehr als -36 Grad, Das wäre im vierten Quadranten und kann also nicht stimmen. Deswegen musst Du zu diesem Wert [mm] \pi [/mm] dazuaddieren. Damit hast Du dann Betrag und Phasenwinkel von [mm] z^2 [/mm], dem ich hier wegen der unten auftauchenden Formel die Abkürzung [mm] w [/mm] mal zuordne. Dann das Ganze in die Formel von Moivre einsetzen und Du bekommst die, in diesem Fall zwei, Lösungen raus.
Mit dem richtigen Winkel [mm] \varphi [/mm] und dem Betrag [mm] r [/mm] bekommst Du für die Größe [mm] w [/mm]allgemein geschrieben
$$ [mm] \wurzel[n]{w} [/mm] = [mm] r^{\bruch{1}{n}} \cdot e^{i \cdot (\bruch{\varphi}{n} + 2 \pi \bruch{k}{n})} [/mm] $$
mit k = 0,1,2,..... n-1.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Aoide,
ich glaube, dein primäres Problem ist das Erkennen, in welchem Quadranten die Zahl liegt. Bei komplexen Zahlen werden auf der x-Achse der Realteil Re(z) und auf der y-Achse der Imaginärteil Im(z) aufgetragen. Der entstehende Zeiger hat nun einen Winkel [mm] \alpha [/mm] zur positiven x-Achse. Wie du vorher schon richtig erkannt hast, liegt deine Zahl im 2ten Quadranten, da ja Im(z) positiv und Re(z) negativ ist. Da [mm] \alpha_{falsch} [/mm] = arctan(-3/4) aber im 4ten Quadranten zu finden ist, musst du noch [mm] \pi [/mm] addieren, um somit um zwei Quadranten weiterzudrehen, sodass du dich nun im richtigen 2ten Quadranten befindest. Ich hoffe, diese Erklärung ist für dich anschaulich genug.
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