Komplexe Lösungen darstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 31.01.2009 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen in Polarkoordinatenform
1) [mm] z^{5} [/mm] + ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}} [/mm] ) = 0
2) [mm] z^{4} [/mm] + 8 = 8 [mm] \wurzel{3}i
[/mm]
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Hallo,
ich sitze nun seit Stunden an den komplexen Zahlen, Definitionen, Aufgaben und Lösungen, aber ich finde in das Thema einfach nicht wirklich gut rein.
Könnte mir vielleicht jemand an der genannten Aufgabe erklären, was und vorallem wie genau man so eine Aufgabe angeht?
Ich kann mich noch ganz schwach an den Kreis und die "Umdrehung" erinnern, aus der sich dann das [mm] re^i*phi(pi/..) [/mm] usw zusammensetzt, aber nicht so, dass ich mir da irgendetwas ausrechnen kann..
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 31.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die komplexen Zahlen kann man schreiben als
a)z=a+ib
[mm] b)z=r*(cos\phi+isin\phi) [/mm] mit r=betrag von z also [mm] r=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
[mm] tan\phi=b/a
[/mm]
c) [mm] z=r*e^{i\phi} \phi [/mm] und r wie in b)
dabei stellst du z als Pfeil vom Nullpunkt aus an, der zum Pkt (a,b) geht, bsw als Pfeil der Laenge r und dem Winkel [mm] \phi [/mm] zur pos. x-Achse.
komplexe Zahlen werden multipl, indem man ihre Winkel addiert und ihre Betraege multipliziert.
Das geht am einfachsten mit Darstellung c) (oder b.)
( a) ist guenstiger zum addieren)
quadrieren heisst also Winkel verdoppeln, hoch 5 Winkel verfuenffachen.
umgekehrt Wurzeln ziehen heisst Winkel entsprechend teilen.
Dabei muss man dran denken, dass die Winkel [mm] \phi [/mm] und [mm] \phi+n*2\pi [/mm] dieselben sind, dadurch bekommt man 5 verschieden 5.te Wurzeln einer Zahl.
Beispiel:z=6 [mm] \wurzel[5]{6}=\wurzel[5]{6}*\wurzel[n]{3}e^{2\pi*i}
[/mm]
[mm] z1=\wurzel[5]{6}*e^{2/5\pi*i}
[/mm]
[mm] z2=\wurzel[5]{6}*e^{4/5pi*i}
[/mm]
z3=....
z4=...
[mm] z5=\wurzel[5]{6}*e^{10/5\pi*i}=\wurzel[5]{6}*1
[/mm]
so jetzt probier deine Aufgabe und post deine Ergebnisse zur kontrolle. Aber mit Rechenweg.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 31.01.2009 | | Autor: | pojo |
Bei deiner Formatierung passt irgendwas nicht, ist schwer für mich da durchzusteigen..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Sa 31.01.2009 | | Autor: | pojo |
Erstmal danke für deine Mühen.
Das Problem ist nur, dass ich jetzt nicht viel weiter komme als vorher. Das a) bis c) habe ich auch etliche Male gelesen, nur fehlt mir der Bezug zur Aufgabe. Wenn ich mir die Aufgabenstellung anschaue, weiß ich einfach nicht, wie ich anfangen soll.
Bei diesem Aufgabentyp ist ja generell immer eine Gleichung gegeben, in der ein z und eben der Teil mit dem Real/Imaginärteil enthalten ist. Ich würde jetzt erstmal generell die Gleichungen nach [mm] z^{5} [/mm] = ... umstellen, nur dann weiß ich wirklich nicht, was genau ich machen soll.
Es würde mir helfen, wenn man die erste Aufgabe einmal kurz erläutert. Es muss garnicht mal die komplette Rechnung sein, sondern eher, was ist was, was soll muss ich machen und warum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pojo!
Umstellen nach [mm] $z^n [/mm] \ = \ ...$ ist schon mal sehr gut. Anschließend solltest Du von der komplexen Zahl auf der rechten Seite den Betrag $r_$ sowie das Argument [mm] $\varphi$ [/mm] berechnen.
Denn dann ist die Berechnung der Lösung mittels  Moivre-Formel schnell gemacht.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Sa 31.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst einfach die 5te Wurzel aus der rechten seite ziehen.
da steht ne ganz gewoehnliche komplexe Zahl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Sa 31.01.2009 | | Autor: | pojo |
Für euch ist das so einfach gesagt, weil ihr wisst, wie das Ganze abläuft. Ich stehe wirklich noch immer auf dem Schlauch und meine Konzentration wird mit der Uhrzeit [mm] \mapsto [/mm] 0 nicht unbedingt besser.
Wenn ich mich an das Schema halte, dass z = a+bi ist bzw. z = [mm] re^{i*\phi} [/mm] würde ich zB. die Aufgabe 1) erstmal umstellen, also
[mm] z^{5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}}
[/mm]
und nun brauche ich wohl r und [mm] \phi [/mm]
r = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
und [mm] \phi [/mm] = b/a ?
Ist a = b = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ?
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Hallo pojo,
> Für euch ist das so einfach gesagt, weil ihr wisst, wie das
> Ganze abläuft. Ich stehe wirklich noch immer auf dem
> Schlauch und meine Konzentration wird mit der Uhrzeit
> [mm]\mapsto[/mm] 0 nicht unbedingt besser.
Ach so... Da laufen wir hier erst zu Hochform auf. 
> Wenn ich mich an das Schema halte, dass z = a+bi ist bzw. z
> = [mm]re^{i*\phi}[/mm] würde ich zB. die Aufgabe 1) erstmal
> umstellen, also
>
> [mm]z^{5}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] - [mm]\bruch{i}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> und nun brauche ich wohl r und [mm]\phi[/mm]
Jaaaa...
> r = [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}}[/mm]
Schön.
> und [mm]\phi[/mm] = b/a ?
Unschön. Wie ging das noch mit den Winkelfunktionen? Mach Dir mal eine kleine Skizze in der Gaußschen Zahlenebene. Was ist dann [mm] \bruch{b}{a} [/mm] ?
> Ist a = b = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ?
Na, nicht ganz. Schau nochmal hin.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 So 01.02.2009 | | Autor: | pojo |
Oh man..
Ich hätte jetzt gedacht a = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und da - [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}} [/mm] eigentlich - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * i ist, wäre b - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
und [mm] \phi [/mm] errechnet sich wohl durch [mm] tan(\phi) [/mm] = b/a wie es der ersten Antwort zu entnehmen ist.
Oder ich liege ganz falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 So 01.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Jetzt ists richtig. Geh ins Bett, statt zu jammern und mach morgen ausgeschlafen weiter.
Gute Nacht leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 So 01.02.2009 | | Autor: | pojo |
Ich werde nicht schlafen können, bevor ich nicht wenigstens halbwegs verstanden habe, was ich dann damit mache. :)
Zusammengefasst weiß ich nun was r und [mm] \phi [/mm] sind und dass ich, wegen [mm] z^{5}, [/mm] die 5te Wurzel ziehen muss. (?)
Wäre es nicht möglich, dass jemand die letzten Schritte vorkaut, bevor der Thread hier ausufert..
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Na, dann wollen wir dich doch nicht vom Schlaf abhalten...
Wenn Du r weißt, zieh daraus die fünfte Wurzel.
Wenn Du [mm] \varphi [/mm] weißt, dann teil den Winkel durch 5.
Dann hast Du eine Lösung. Für die anderen vier Lösungen musst Du noch am Winkel arbeiten.
Aber das kannst du bestimmt auf morgen verschieben, oder?
Nächtle,
reverend
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