Komplexe Lösungen einer Gleicl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 08.02.2005 | | Autor: | Odura |
Hallo!
Ich habe die Gleichung [mm] x^5=-243. [/mm] Davon soll ich alle Lösungen (komplexe sowie reelle) angeben. Eine reelle ist ja x=5. Aber wie komme ich auf die komplexen?
Vielen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Di 08.02.2005 | | Autor: | Odura |
Tschuldigung, als Lösung meinte ich natürlich x=-3!
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Hallo, Odura,
für eine Korrektur brauchst Du nicht einen Extrabeitrag verfassen, die kannst direkt korrigieren
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für Multiplikationen, Divisionen, Potenzen, Wurzeln,
ist die Trigononmetrische Darstellung günstig : [mm] $Betrag*(\cos \alpha [/mm] + [mm] \iota*\sin \alpha)$ [/mm] kurz [mm] $|z|*cis(\alpa)$
[/mm]
zur
Multiplikation werden Beträge multipliziert und Winkel addiert und Winkel addiert,
entsprechend daraus
hergeleiter Potenzieren, Wurzeln also [mm] $\left( |z|*cis(\alpha) \right)^n [/mm] = [mm] |z|^n cis(n*\alpha)$
[/mm]
wobei
für gebrochene n ( Wurzelziehen ) noch zu berücksichtigen ist daß [mm] $\sin(x+k*2\pi) [/mm] = [mm] \sin(x)$ [/mm] gilt und [mm] $\cos(x+k*2\pi) [/mm] = [mm] \cos(x)$
[/mm]
somit für die n te Wurzel die Winkel [mm] $\{ \frac{\alpha+2k\pi}{n} | k = 0...n-1 \} [/mm] $die n Lösungen sind.
Für -243 gilt [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pi$
[/mm]
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