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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm] x^3+27i=0 [/mm] |
Hallo.
Ich übe gerade für eine Matheklausur und habe eine Aufgabe vor mir, mit der ich nicht zurecht komme.
Die Lösung dazu lautet:
[mm] z_{j}=3(cos(\pi/2+(j-1)2\pi/3)+isin(\pi/2+(j-1)2\pi/3)) [/mm] j=1,2,3
Explizit:
[mm] z1=3(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)) [/mm] =3i
[mm] z2=3(cos(7\pi/6)+isin(7\pi/6)) =3(-\wurzel{3/2}-i/2) \approx-2,5981-1,5i
[/mm]
[mm] z3=3(cos(11\pi/6)+isin(11\pi/6)) =3(\wurzel{3/2}-i/2) \approx-2,5981-1,5i
[/mm]
Ich habe leider überhaupt keinen Schimmer wie ich dort hin gelange. Mich irritiert das [mm] x^3...wenn [/mm] es [mm] x^2 [/mm] wäre wüsste ich wie es geht.
Kann mir jemand erklären wie ich darauf komme? Und was bedeuten die j=1,2,3? (Wieso 3 Werte?)
Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 14.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]z_{j}=3(cos(\pi/2+(j-1)2\pi/3)+isin(\pi/2+(j-1)2\pi/3))[/mm]
> j=1,2,3
Das ist ne geile Lösung! Sag mal deinem Prof nen schönen Gruß von mir.
> Ich habe leider überhaupt keinen Schimmer wie ich dort hin
> gelange. Mich irritiert das [mm]x^3...wenn[/mm] es [mm]x^2[/mm] wäre wüsste
> ich wie es geht.
Die Vorgehensweise ist bei [mm] x^{3} [/mm] und bei [mm] x^{2} [/mm] eigentlich gleich. Man soll [mm] x\in\IC [/mm] als x:=a+ib mit a, b [mm] \in\IR [/mm] darstellen und dann a und b bestimmen. In deinem Fall würde das bedeuten:
[mm] (a+ib)^{3}+i27=0 \gdw
[/mm]
[mm] \gdw a^{3}-3ab^{2}+i(3a^{2}b-b^3+27)=0.
[/mm]
Dann sollst du das reelle System:
[mm] a^{3}-3ab^{2}=0 [/mm] und
[mm] 3a^{2}b-b^3+27=0
[/mm]
lösen.
> Kann mir jemand erklären wie ich darauf komme? Und was
> bedeuten die j=1,2,3? (Wieso 3 Werte?)
Drei Werte, weil die Gleichung 3 Lösungen hat anscheinend. Jede Lösung erhälts du indem du für j 1, 2 oder 3 in die allgemeine Lösung einsetzst.
Gruß,
dormant
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[mm] $z^n=a$
[/mm]
hatt immer Volgende Lösung:
$ [mm] z_{k}= \root [/mm] n [mm] \of [/mm] {|a|} [mm] \left(cos(\bruch{\varphi+2\pi k}{n})+i sin(\bruch{\varphi+2\pi k}{n})\right) [/mm] $
oder
$ [mm] z_{k}= \root [/mm] n [mm] \of [/mm] {|a|} [mm] e^{i({\bruch{\varphi+2\pi k}{n}})} [/mm] $
k=0,1,..,n-1
so ich hoffe war nicht ganz an der sache vorbei.
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