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Komplexe Lösungsmenge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Do 07.09.2006
Autor: FlorianJ

Aufgabe
Wie lauten die komplexen Lösungen folgender Gleichungen:

a) [mm] (1-j)z^2+(1+j)z-2+j [/mm] = 0

Mahlzeit!

Irgendwie habe ich die Berechnung komplexer Lösungsmengen noch nicht ganz auffrischen können.

Ich rechne daher mal los, damit man mir meine Fehler aufzeigen kann :-)

[mm] (1-j)z^2+(1+j)z-2+j [/mm] = 0                                    |/(1-j)

[mm] z^2 [/mm] + [mm] (\bruch{2j}{2})z [/mm] - [mm] \bruch{(1+3j)}{2} [/mm] = 0

nun sollte ich die pq formel doch anwenden können

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2j}{4} [/mm] +- [mm] \wurzel{(\bruch{2j}{2})^{2} +\bruch{(1+3j)}{2}} [/mm]

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2j}{4} [/mm] +- [mm] \wurzel{j^2 +\bruch{(1+3j)}{2}} [/mm]

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2j}{4} [/mm] +- [mm] \wurzel{-0,5 +1,5j} [/mm] mit nem winkel von71,56°

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2j}{4} [/mm] +- (0,5+1,5j)

[mm] z_1=0,5+2j [/mm]

[mm] z_2 [/mm] = -0,5-2j      
                                                                            

komplett falsch, die frage nun wo?

es wäre denke ich auch hilfreich die generelle vorgehensweise nochmal zu schildern (falls das nciht zu viel verlangt ist)

vielen dank für jede hilfe!

mit freundlichen grüßen

flo



Die Frage wurde nur hier gestellt.

        
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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Do 07.09.2006
Autor: FlorianJ

hab nun von der "anderen" p/q formel gelesen,


schließlich komme ich auf

[mm] \bruch{-1-j + \wurzel{4-10j}}{2(1-j)} [/mm]

die wurzel müsste ergeben:

[mm] \wurzel[2]{116}*(cos(68,2°)+j*sin(68,2°)) [/mm]

= 1,21 + 3,047j

=>  [mm] \bruch{(0,21+2,047j)(2+2j)}{8} [/mm]

...naja und es endet wieder alles falsch....

wäre supernett wenn mir das mal jemand vorrechnen könnte!
vielen Dank!

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Komplexe Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 07.09.2006
Autor: Leopold_Gast

Zu deinem ersten Beitrag:

[mm]\frac{2 \operatorname{j}}{2} = \operatorname{j}[/mm]

Nach der ersten Umformung müßte die Gleichung so heißen:

[mm]\ldots - \frac{3 + \operatorname{j}}{2} = 0[/mm]



Zu deinem zweiten Beitrag:

Der Sinus braucht hier ein negatives Vorzeichen.

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Do 07.09.2006
Autor: Sixpack

Hey Ich wollte nur sagen das du noch einen fehler in deiner PQ Formel hast oder hattest...

du hast angesetzt mit p=2j/2 = j

Aber in deiner Formel steht in der Wurzel [mm] (2j/2)^2 [/mm] obwohl es [mm] ((2j/2)^2)/4 [/mm] sein müsste. So komme ich zumindest auf ein richtiges Ergebniss..

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Do 07.09.2006
Autor: FlorianJ

ja okay, das hab ich dann soweit....

nun bitte nochmal zur wurzel allgemein

zB:
[mm] \wurzel{15-8j} [/mm]

$ [mm] r_0= \wurzel[2]{15^2+8^2} [/mm] = [mm] \wurzel{17}$ [/mm]

[mm] $\phi_0= [/mm] 360- [mm] arctan|(\bruch{8}{15})| [/mm] = - [mm] arctan|(\bruch{8}{15})| [/mm] = -28,07°$

$=>  [mm] +-\wurzel{17}(cos(-28,07°) [/mm] + j*sin(-28,07°))$

ergibt nicht das richtige ergebnis von +-(4-j)


Danke!

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 Do 07.09.2006
Autor: Leopold_Gast

[mm]\sqrt{289} = 17[/mm] und nicht [mm]\sqrt{17}[/mm].

Im Übrigen: Komplexe Quadratwurzeln können ohne Trigonometrie berechnet werden. Für [mm]w = u + \operatorname{j}v[/mm] mit [mm]u,v \in \mathbb{R}[/mm] gilt:

[mm]\sqrt{u + \operatorname{j}v} = \pm \left( \sqrt{\frac{1}{2} \, (r+u)} + s \, \operatorname{j} \sqrt{\frac{1}{2} \, (r-u)} \right)[/mm] mit [mm]r = |w| = \sqrt{u^2 + v^2}[/mm]

Die Wurzeln auf der rechten Seite der Gleichung sind gewöhnliche reelle Wurzeln. Für [mm]v \geq 0[/mm] ist [mm]s=1[/mm] und für [mm]v<0[/mm] ist [mm]s=-1[/mm] zu wählen. Das [mm]\pm[/mm] vor der großen Klammer bringt die Mehrdeutigkeit der komplexen Quadratwurzel zum Ausdruck.

So errechnet man etwa bei [mm]15 - 8 \operatorname{j}[/mm] für [mm]r = 17[/mm], also

[mm]\sqrt{15 - 8 \operatorname{j}} = \pm \left( \sqrt{\frac{1}{2} \left( 17 + 15 \right)} - \operatorname{j} \sqrt{\frac{1}{2} \left( 17 - 15 \right)} \right) = \pm \left( 4 - \operatorname{j} \right)[/mm]

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Do 07.09.2006
Autor: FlorianJ

klasse, das hilft mir schon sehr weiter! :-) super!

eine kleine frage bzw bemerkung hab ich aber dann doch noch

[mm] r_0 [/mm] = 17 klar das ist ein fehler meinerseits, doch
wenn ich später die wurzel über trigonometrie ziehe,
so muss ich doch die wurzel aus r nehmen.
und käme dann zu meinem geposteten ausdruck.
leider komme ich damit aber nicht zum ziel - weißt du/jemand wieso?

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Do 07.09.2006
Autor: Leopold_Gast

Du mußt beim Wurzelziehen auch das Argument (den Winkel) halbieren:

[mm]28{,}07 \ldots ^{\circ} : 2 = 14{,}04 \ldots ^{\circ}[/mm]

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Komplexe Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Do 07.09.2006
Autor: FlorianJ

tres bien!

vielen vielen dank!

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