Komplexe Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Kurze Verständnisfrage:
Sind alle Matrixen mit komplexen Einträgen diagonalisierbar in [mm] \IC, [/mm] also durch Konjugation mit invertierbaren komplexen Matrizen auf Diagonalgestalt zu bringen?
Unser Übungsleiter hat sowas in der Art in der letzten Übung gesagt.. irgendwie kann ich mirs aber nicht vorstellen.. aber ein Gegenbeispiel find ich auch nicht. Ich glaube er meinte alle komplexen normalen Matrizen sind diagonalisierbar über [mm] \IC...
[/mm]
Viele Grüße,
Blueman
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Hallo blueman,
deine Vermutung ist genau richtig: Alle komplexen normalen Matrizen sind diagonalisierbar über [mm] $\IC$. [/mm] Das Gegenbeispiel, dass du suchst, könnte z.B. [mm] $\pmat{1&1\\0&1}$ [/mm] sein. Diagonalisierbarkeit heißt ja nichts anderes, als dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Dies muss aber nur bei den normalen Matrizen der Fall sein.
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 29.05.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Vielen Dank für deine Antwort. Dein Gegenbeispiel wirft bei mir aber noch eine Frage auf:
Ich habe das charakteristische Polynom ausgerechnet durch
cp = det [mm] (\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ x & 0 \\ 0 & x } [/mm] ) = [mm] (1-x)^2 [/mm] - 1
Faktorisiert ist dies = x(x-2).
D.h. das charakteristische Polynom zerfällt in paarweise verschiedene Linearfaktoren. Was aber laut unserer Vorlesung bedeuten würde, dass die Matrix diagonalisierbar wäre (steht auch im Fischer : S. 234, Satz 4.3.1)
Ich sehe aber ein, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist, denn sowohl der Eigenraum zu 0 als auch zu 2 besteht lediglich aus dem Nullvektor, sprich: geometr. Vielfachheit = 0.. also ist die algebraische Vielfachkeit ungleich der geometrischen Vielfachkeit, also ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Dies steht schon wieder im Gegensatz zur Vorlesung, da wir gesagt haben, dass jeder Eigenraum Dimension [mm] \ge [/mm] 1 hat (woraus auch obiger Satz folgt...)
Bitte nochmals um Hilfe! Irgendwas hab ich wohl missverstanden.
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Di 29.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Vielen Dank für deine Antwort. Dein Gegenbeispiel wirft bei
> mir aber noch eine Frage auf:
>
> Ich habe das charakteristische Polynom ausgerechnet durch
> cp = det [mm](\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] - [mm]\pmat{ x & 0 \\ 0 & x }[/mm]
> ) = [mm](1-x)^2[/mm] - 1
Hier hast du dich schlichtweg verrechnet!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Di 29.05.2007 | | Autor: | Blueman |
Ahh Ok! Dann vielen Dank euch beiden. Alles klar 
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