Komplexe Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 27.01.2007 | | Autor: | extral |
| Aufgabe | [mm] x^8+16x^4+64=0
[/mm]
Die Rechnung ist vollständig von Hand auszuführen! |
Bitte um Hilfe, ich komm da einfach nicht weiter!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 27.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
substituiere [mm] x^{4}=u
[/mm]
Dann hast du: [mm] u^{2}+16u+64=0
[/mm]
nach u aufgelöst bekommt man für u dann nur einen Wert, da der Wurzelausdruck 0 ist. Dieser lautet: u=-8
Nun wieder rücksubstituieren.
Also: [mm] x^{4}=-8
[/mm]
Nun kommt das komplexe ins Spiel.
Zuerst am besten mal nur die Quadratwurzel ziehen:
[mm] x^{2}=\wurzel{-8}=\wurzel{(-1)*8}=\wurzel{i^{2}*4*2}=\pm2i\wurzel{2}
[/mm]
Daraus nun wieder die Wurzel ziehen.
[mm] x=\pm\wurzel{\pm2i\wurzel{2}}
[/mm]
Nun hast du insgesamt vier Ergebnisse für x. Diese hängen nur von den Vorzeichen unter und vor der Wurzel ab.
Diese Ergebnisse kannst du dann auch noch etwas weiter zerlegen in:
[mm] x_{1}=+\wurzel{+2i\wurzel{2}}=\wurzel{\wurzel{2}}*\wurzel{2i}=\wurzel[4]{2}\wurzel{2i}
[/mm]
Bei den anderen drei Ergebnissen ändern sich halt die Vorzeichen entsprechend.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 27.01.2007 | | Autor: | extral |
Vielen dank für deine sehr schnelle und ausführliche Antwort!
Allerdings soll da nach der Musterlösung sowas rauskommen:
[mm] x_1=\wurzel[4]{2}+i*\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel[4]{2}-i*\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_3=\wurzel[4]{-2}+i*\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] x_4=\wurzel[4]{-2}-i*\wurzel[4]{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 27.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also entweder habe ich mich irgendwo verrechnet, oder mein Ergebnis stimmt mit deinem angegebenen überein und man muss es nur noch ein paar mal umformen oder irgendwas ausklammern.
Ich bin mir aber im Moment selbst nicht so ganz sicher.
Hauptsache, du hast schon mal einen Denkanstoß bekommen für den Rest der aufgaben.
Gruß,
clwoe
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Hallo extra!
Setze in die Gleichung [mm] $u^4 [/mm] \ = \ -8$ die Koordinatenform der komplexen Zahl ein:
$-8 \ = \ [mm] (a+i*b)^4 [/mm] \ = \ [mm] a^4+4a^3b*i-6a^2b^2-4ab^3*i+b^4 [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{a^4-6a^2b^2+b^4}\right)+i*\left(\blue{4a^3b-4ab^3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{-8}+i*\blue{0}$
[/mm]
Daraus ergibt sich mittels Koeffizientenvergleich folgendes Gleichungssystem:
[mm] $\red{a^4-6a^2b^2+b^4} [/mm] \ = \ [mm] \red{-8}$
[/mm]
[mm] $\blue{4a^3b-4ab^3} [/mm] \ = \ [mm] \blue{0}$
[/mm]
Und nun hieraus $a, \ b \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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