Komplexe Nullstellen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Do 17.06.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Gesucht ist die allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL $ y'''+y=0 $
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Um das zu lösen sind ja erstmal die Nullstellen gesucht.
Also
[mm] $x^3+1=0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \wurzel[3]{-1}=0 [/mm]
Das führt auf das Problem mit der Einheitswurzel. Was bei mir folgendermaßen aussieht.
[mm] $r=|z|=|-1+0*j|=\wurzel{(-1)^2+0^2*j}=1$
[/mm]
[mm] $\phi=arg(z)=arg(-1+0j)=arctan(\bruch{0}{-1})+\pi$
[/mm]
Damit dann für die K´s
$K=0: [mm] r*e^{j*\pi}=r*(cos(\pi)+j*sin(\pi))=-1$ [/mm]
$K=1: [mm] r*e^{j*\bruch{4*\pi}{3}}=r*(cos(\bruch{4*\pi}{3})+j*sin(\bruch{4*\pi}{3}))=-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*j*\wurzel{3}$
[/mm]
$K=2: [mm] r*e^{j*\bruch{7*\pi}{3}}=r*(cos(\bruch{7*\pi}{3})+j*sin(\bruch{7*\pi}{3}))=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*j*\wurzel{3}$
[/mm]
K=0 und K=3 stimmen mit der Lösung von Maple überein, aber K=2 müsste [mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*j*\wurzel{3}$ [/mm] sein. Wie kommt da hin, dass der Term der durch den Cosinus gebildet wird zwei mal positiv ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Do 17.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo steem!
Warum so kompliziert? Es gilt:
[mm] $$x^3+1 [/mm] \ = \ [mm] (x+1)*\left(x^2-x+1\right)$$
[/mm]
Auf den zweiten Term mit der  p/q-Formel losgehen ... fertig.
Gruß
Loddar
PS:
> [mm]$\Rightarrow \wurzel[3]{-1}=0[/mm]
Diese Gleichung ist natürlich Blödsinn!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 17.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
K=2 :die [mm] 4\pi/3 [/mm] sind falsch es ist [mm] \pi+2\pi/3=5\pi/3
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Do 17.06.2010 | | Autor: | steem |
Danke für den Hinweis! Jetzt passt alles ganz gut.
Mit der Gleichung hast du natürlich recht, [mm] $\Rightarrow \wurzel[3]{-1}=0 [/mm] $ ist Blödsinn.
Aber [mm] $\Rightarrow \wurzel[3]{-1}=y$ [/mm] wäre doch richtig oder? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 18.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Fast:
[mm] x^{3}+1=0\Rightarrow\wurzel[3]{-1}=\red{x}
[/mm]
Marius
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