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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Die Lösungen der Gleichung [mm] z^{n}=1 [/mm] heißen n-te Einheitswurzeln.
a) Lösen sie die Gleichung [mm] z^{n}=^. [/mm] Wie viele Lösungen und mit welchen Vielfachheiten gibt es? |
Hallo zusammen,
Ich weiß aus einer Definition, dass [mm] z^{n}= |z^{n}|(cos(n\beta)+isin(n\beta))
[/mm]
Stimmt das und ist das ein brauchbarer Ansatz?
Wie gehe ich jetzt vor, wenn ich die Gleichung lösen möchte? =(
Bitte um Hilfe!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mi 03.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Die Lösungen der Gleichung [mm]z^{n}=1[/mm] heißen
> n-te Einheitswurzeln.
> a) Lösen sie die Gleichung [mm]z^{n}=^.[/mm] Wie viele Lösungen
Meinst du hier auch [mm] $z^n [/mm] = 1$?
> und mit welchen Vielfachheiten gibt es?
>
> Ich weiß aus einer Definition, dass [mm]z^{n}= |z^{n}|(cos(n\beta)+isin(n\beta))[/mm]
... falls $z = |z| [mm] (\cos(\beta) [/mm] + i [mm] \sin(\beta))$ [/mm] ist. Und das ist keine Definition, sondern ein Satz!
> Stimmt das und ist das ein brauchbarer Ansatz?
Ja, das ist ein brauchbarer Ansatz.
Damit [mm] $z^n [/mm] = 1$ ist, muss also [mm] $|z|^n [/mm] = 1$ und [mm] $\cos(n \beta) [/mm] = 1$ und [mm] $\sin(n \beta) [/mm] = 0$ sein.
Was folgt daraus fuer $|z|$ und [mm] $\beta$?
[/mm]
LG Felix
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Ja genau, bei a) soll es auch [mm] z^{n}=1 [/mm] heißen.
Also für [mm] \beta [/mm] würde das ja heißen, dass [mm] \beta=0, [/mm] da dann cos(0=1 und sin(0)=0
für |z| (z=(x,y)) müsste das ja heißen dass x=1 und y=0 oder umgekehrt, oder?
Der Betrag ist ja Definiert als [mm] \wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Aber wie gebe ich das jetzt als Lösung an?
Und wie komme ich auf eine Lösung bzw. dann auf Vielfachheiten der Lösung?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja genau, bei a) soll es auch [mm]z^{n}=1[/mm] heißen.
>
> Also für [mm]\beta[/mm] würde das ja heißen, dass [mm]\beta=0,[/mm] da
> dann cos(0=1 und sin(0)=0
Nur weil [mm] $\cos(n \beta) [/mm] = 1$ ist und [mm] $\sin(n \beta) [/mm] = 0$ muss noch lange nicht [mm] $\beta [/mm] = 0$ sein.
[mm] $\beta [/mm] = 0$ ist nur eine Loesung.
Finde mal die anderen!
(Wieviele von denen sind gleich?)
LG Felix
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Achso und dann natürlich, da sinus und cosinus periodisch sind, nicht nur für 0, sondern auch: [mm] 2\pi [/mm] und alle Vielfachen davon?
heißt das die Lösungen der Gleichungen sind:
[mm] \beta= [/mm] 0, [mm] n*2\pi; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso und dann natürlich, da sinus und cosinus periodisch
> sind, nicht nur für 0, sondern auch: [mm]2\pi[/mm] und alle
> Vielfachen davon?
>
> heißt das die Lösungen der Gleichungen sind:
>
> [mm]\beta=[/mm] 0, [mm]n*2\pi;[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ?
Moment. Welche Gleichung meinst du jetzt? Die, in der $n$ vorkommt? Dann hast du $n$ doppelt verwendet, und auch nicht alles erwischt.
Oder meinst du [mm] $\cos(\beta) [/mm] = 1$, [mm] $\sin(\beta) [/mm] = 0$? Ja, dann sind das genau alle Loesungen.
LG Felix
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| Aufgabe | a) Lösen sie die Gleichung [mm] z^n=1. [/mm] Wie viele Lösungen mit wie vielen Vielfachen gibt es?
b)Zeichnen Sie diese in der komplexen Ebene für n=3,4,5
c) Berechnen Sie die Summe und das Produkt aller Lösungen |
Hi zusammen
a)
Da [mm] z^n [/mm] = [mm] |z|^n(cos(n\beta)+isin(n\beta)=1 [/mm] eine reelle Lösung ist, muss der Imaginärteil: [mm] sin(n\beta) [/mm] ja= 0 sein.
Da der Betrag: [mm] |z|^n [/mm] immer positiv ist (ausgenommen für 0), muss dre Cosinus= 1 sein, da nur dann auch 1 rauskommen kann.
Also hängt die Lösung lediglich von
[mm] cos(n\beta), [/mm] ab, wobei n [mm] \beta=2\pi [/mm] und damit [mm] \beta=\bruch{2\pi}{n}
[/mm]
Es gibt also n Lösungen mit [mm] \beta=\bruch{2\pi}{n} [/mm] ? Oder liege ich da falsch?
b)
Wenn ich n=3,4 und 5 einsetze erhalte ich:
n=3 [mm] \to \beta=\bruch{2\pi}{3}=120°
[/mm]
n=4 [mm] \to \beta=\bruch{2\pi}{4}=90°
[/mm]
n=5 [mm] \to \beta=\bruch{2\pi}{5}=72°
[/mm]
also zeichne ich einfach Vektoren mit dem Betrag=1 und den jeweiligen Winkeln (Argumenten) und habe in der Zeichnung letztlich 3 Vektoren mit gleichem Betrag aber unterschiedlichen Argumenten?
Wäre die Zeichnung so korrekt?
c)
Die Summe aller Lösungen kann ich doch schreiben als
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2\pi}{n}, [/mm] weil dadurch ja einfach alle Lösungen addiert werden (habe vorhin ja rausbekommen, dass alle n-Lösungen durch den Ausdruck [mm] \beta=\bruch{2\pi}{n} [/mm] beschrieben werden?
Wäre über Hinweise, Korrektur und Vorschläge dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast dich verwirrn lassen
du willst doch nicht für verschiedene n verschidene lösungen haben sondern für z. bsp n=5 5 verschiedene Lösungen!
du hast zwar richtig [mm] cos(n\beta)=0 [/mm] folgt [mm] n\beta=2\pi, [/mm] aber was ist mit [mm] n*\beta=0 [/mm] und dann hast du doch selbst noch viele weiter Lösungen aufgeschrieben für cos(x)=0, also suc erst mal die 6 Lösungen für n=6 un zeichne die und dann vielleicht die für n=36 der hattest du den Auftrag für bestimmte n in der Zeichnung?
Gruss leduart
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Hi,
d.h. wie formuliere ich die Antwort auf die Frage:
"Lösen Sie die Gleichung [mm] z^n [/mm] = 1. Wie viele Lösungen mit wie vielen Vielfachen gibt es" ?
Und ist es jetzt so, dass ich für n=x, x verschiedene Lösungen bekomme, oder habe ich da was verwechselt?
zu b)
wenn ich es zeichnen soll, z.b. mit z=3, bekomme ich dann 3 Ergebnisse (in dem Fall 3 Winkel) die ich einzeichnen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum musst du n erst in x umbenennen, dann merkt man nicht mehr, dass es eine natürliche Zahl ist:
du solltest , nachdem du gezeigt hast dass es so ist sagen für [mm] z\in \IC [/mm] hat [mm] z^n=1 [/mm] n verschiedene Lösungen und zwar, wenn z=cosx+isinx ist die lösungen [mm] z_i=.... [/mm] mit i=1,2,..n
gruss leduart
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Ok, danke für die Antwort!
Wie sieht es mit der Zeichnung aus?
Also Bsp die Zeichung für n=3:
Ich bekomme durch das Argument von cos ja jeweils ein Winkel für ein bestimmtes n? Zeichne ich für n=3 einfach nur diesen einen Vektor mit dem Winkel( der ja eine komplexe Zahl darstellt) oder n=0-3?
Gruß
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Hallo Theoretix,
die Lösungen der Gleichung [mm] z^n=1 [/mm] (für [mm] n\in\IN [/mm] , [mm] n\ge3) [/mm] (*)
liegen regelmäßig verteilt auf dem Einheitskreis um den
Nullpunkt in der komplexen Ebene. Sie bilden also die
Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. Dabei gehört die
Zahl $\ 1\ =\ 1+0*i$ stets zu diesen Eckpunkten.
LG Al-Chw.
(*) Für n=1 und n=2 muss man die komplexen Zahlen gar
nicht erst bemühen - und der Begriff "regelmäßiges n-Eck"
liefert für diese beiden Werte ja auch nicht das, was man
sich gemeinhin unter einem Polygon vorstellt ...
Rein rechnerisch tanzen diese Werte allerdings keineswegs
aus der Reihe bei diesen Betrachtungen. Das "Zweieck" für
$n=2$ hat dann halt die beiden Eckpunkte $\ 1+0*i$ und $\ -1+0*i$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ah super, danke für die Antwort!
lg
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