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Komplexe Z. Betragsungleichung: Aufgabe zu Komplexen Zahlen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 So 06.11.2016
Autor: bachelor-maschinenbau

Aufgabe
Bestimmen Sie für jede der beiden folgenden Ungleichungen alle komplexen Zahlen, welche diese erfüllen. Zeichnen Sie die beiden Lo ̈sungsmengen in der komplexen Zahlenebene.

(a) |z+(5−i)|<Im(z)

(b) z*z'−5*z'+2*i*z'−5*z−2*i*z<−20

z' steht für "konjugiert"
* steht für "mal"

a) Wie sollte ich mit dem Im(z) umgehen?

b) wenn ich die z bzw. z-konjugiert durch a+b*i bzw. A-b*i ersetze und anschließend alles vereinfache... bleibe ich an folgender Stelle hängen.
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] -10a -2b*i < -20
Wie solle ich weitermachen?

Ich habe ausführlich im Internet nach Antworten gesucht, aber sowas wird, wenn überhaupt, nur in einfacherer weise erklärt.
Wer sich also daran versuchen möchte, nur zu:)



Übrigens ist das mein erstes Mal in einem Forum überhaupt, falls ich also was falsch reingestellt habe tut mir das leid...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Komplexe Z. Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 So 06.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Bestimmen Sie für jede der beiden folgenden Ungleichungen
> alle komplexen Zahlen, welche diese erfüllen. Zeichnen Sie
> die beiden Lo ̈sungsmengen in der komplexen Zahlenebene.

>

> (a) |z+(5−i)|<Im(z)

>

> (b) z*z'−5*z'+2*i*z'−5*z−2*i*z<−20

>

> z' steht für "konjugiert"
> * steht für "mal"
> a) Wie sollte ich mit dem Im(z) umgehen?

Wen z=a+ib ist Im(z)=b

Und damit wird aus |z+(5-i)|<Im(z) dann
|a+ib+5-i|<b
Und das wird
[mm] |(a+5)+i\cdot(b-2)|
>

> b) wenn ich die z bzw. z-konjugiert durch a+b*i bzw. A-b*i
> ersetze und anschließend alles vereinfache... bleibe ich
> an folgender Stelle hängen.
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] -10a -2b*i < -20
> Wie solle ich weitermachen?

Ergänze Quadratisch
[mm] a^{2}+b^{2}-10a-2ib<-20 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow a^{2}-10a+100+b^{2}-2ib-1<-20+100-1 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow (a-10)^{2}+(b-i)^{2}<79 [/mm]

Kommst du damit schonmal weiter.

>

> Ich habe ausführlich im Internet nach Antworten gesucht,
> aber sowas wird, wenn überhaupt, nur in einfacherer weise
> erklärt.

Kannst du hier mal die Links angeben, dann könnte man die Wege dort erklären und evtl auf deine Aufgabe übertragen.

> Wer sich also daran versuchen möchte, nur zu:)

>
>
>

> Übrigens ist das mein erstes Mal in einem Forum
> überhaupt, falls ich also was falsch reingestellt habe tut
> mir das leid...

>

Das ist schon ok.

Marius

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

Bezug
        
Bezug
Komplexe Z. Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Mo 07.11.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Bestimmen Sie für jede der beiden folgenden Ungleichungen
> alle komplexen Zahlen, welche diese erfüllen. Zeichnen Sie
> die beiden Lo ̈sungsmengen in der komplexen Zahlenebene.

>

> (a) |z+(5−i)|<Im(z)

>

> (b) z*z'−5*z'+2*i*z'−5*z−2*i*z<−20

>

> z' steht für "konjugiert"
> * steht für "mal"

> b) wenn ich die z bzw. z-konjugiert durch a+b*i bzw. A-b*i
> ersetze und anschließend alles vereinfache... bleibe ich
> an folgender Stelle hängen.
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] -10a -2b*i < -20 [kopfkratz3]

Das kann nicht stimmen, es sollte der komplexe Anteil beim Zusammenfassen verschwinden.

So, wie es dasteht, ergibt es keinen Sinn, da auf den komplexen Zahlen keine Ordung festgelegt ist ...

Du hast vermutlich irgendwo beim Zusammenfassen einen Vorzeichenfehler reingebastelt.

Ich komme nach überschlägiger Rechnung auf:

[mm]a^2+b^2-10a+4b \ < \ -20[/mm]

Nun weiter, wie in der anderen Antwort empfohlen ...

Gruß

schachuzipus

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