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Hallo,
ich habe erneut eine Aufgaben, Thema: Komplexe Zahlen.
[mm] \wurzel{2x} [/mm] - [mm] \wurzel{-ix} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] 2\wurzel{2}*i
[/mm]
Ich hab mir als erstes gedacht, ich muss quadrieren, damit alle Wurzeln weg wären, bringt mich aber nicht weiter. Ich hätte zwei binome, wobei auch noch 2 Wurzeln bleiben würden.
Hat jemand eine Idee wie man hier schön an das x herankommt?
Gruß Jens
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Schonmal danke für deine Mühe,
[mm]\wurzel{2x} - \wurzel{-ix} \ = \ \wurzel{2} - 2*\wurzel{2}*i[/mm]
[mm]\wurzel{2}*\wurzel{x} - \wurzel{-1}*\wurzel{i}*\wurzel{x} \ = \ \wurzel{2} - 2*\wurzel{2}*i[/mm]
[mm]\wurzel{x} * \left(\wurzel{2} - i*\wurzel{i}\right) \ = \ \wurzel{2} * \left(1 - 2*i\right)[/mm]
[mm]\wurzel{x} \ = \ \bruch{\wurzel{2} * \left(1 - 2*i\right)}{\wurzel{2} - i*\wurzel{i}} \ = \ \bruch{\wurzel{2} * \left(1 - 2*i\right)}{\wurzel{2} * \left(1 - i*\wurzel{\bruch{i}{2}}\right)} \ = \ \bruch{1 - 2*i}{1 - i*\wurzel{\bruch{i}{2}}} \ = \ ...[/mm]
Soweit alles klar, kann alle Rechnungen nachvollziehen, weiß aber nicht was ich jetzt noch großartig zusammenfassen kann. Quadrieren ist auch keine tolle Methode zum weiterrechnen, da wieder ein Binom lauert. Durch Erweitern habe ich noch die Wurzel drin, auch nicht ideal. Gibst du mir einen Tipp? 
Gruß Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> Soweit alles klar, kann alle Rechnungen nachvollziehen,
> weiß aber nicht was ich jetzt noch großartig zusammenfassen
> kann. Quadrieren ist auch keine tolle Methode zum
> weiterrechnen, da wieder ein Binom lauert. Durch Erweitern
> habe ich noch die Wurzel drin, auch nicht ideal. Gibst du
> mir einen Tipp?
Zunächst solltest Du Dich um den Ausdruck [mm] $\wurzel{\bruch{i}{2}}$ [/mm] bzw. [mm] $\wurzel{i}$ [/mm] kümmern.
Tipp (ohne Gewähr) : [mm] $\wurzel{i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 + i}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] * i$
Anschließend ist die Idee mit dem Erweitern sehr gut
(Stichwort: 3. binomische Formel).
Zu guter letzt mußt Du natürlich quadrieren, da wir ja $x$ und nicht [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] suchen ...
Gruß
Loddar
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Sorry, aber mit deinem letzten Beitrag kann ich nichts anfangen. Das ich mich um die Wurzel kümmern muss, ist mir klar, aber das ist ja meine Schwierigkeit. Deine Umformung von [mm] \wurzel{x} [/mm] verstehe ich leider nicht.
Mal was anderes, kennst du Bücher oder Internetseiten, worin komplexe Zahlen deiner Meinung nach gut beschrieben werden? Ich finde an jeder Ecke Additions- und Multiplikationsbeispiele, aber nicht sowas, worauf es eigentlich ankommt. Und zwar erstmal an seine Unbekannte zu kommen. Quasi, sowas wobei du mir gerade hilfst.
Gruß Jens
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens,
da hast Du Dich - glaub' ich - verlesen ...
In meiner Umformung bzw. meinem Tipp habe ich geschrieben:
[mm] $\wurzel{\red{i}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 + i}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] * i$ (nicht [mm] $\wurzel{\blue{x}}$ [/mm] !!)
Siehe auch Leduart's Antwort ...
Damit wird doch auch:
[mm] $\wurzel{\bruch{i}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{i}}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 + i}{\wurzel{2}*\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 + i}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * i$
Dies setzen wir nun in unsere Gleichung mit [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] ein:
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 - 2i}{1 - i*\wurzel{\bruch{i}{2}}}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 - 2i}{1 - i*\left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} * i \right)}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 - 2i}{1 - \bruch{1}{2}i - \bruch{1}{2} * i^2}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 - 2i}{1 - \bruch{1}{2}i + \bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1 - 2i}{\bruch{3}{2} - \bruch{1}{2}i}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(1 - 2i)}{3 - i}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2 - 4i}{3 - i}$
[/mm]
Nun noch den Bruch mit dem Konjugiertem des Nenners erweitern und anschließend quadrieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Sa 12.03.2005 | | Autor: | cagivamito |
Super, ist alles klar jetzt.
Dieses Forum ist echt klasse mit Leuten wie euch !
Gruß Jens
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Fr 11.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
komplexe Gleichungen kann man nur mit denselben Verfahren loesen wie reelle! Deshalb gibts auch keine besonderen Artikel dazu. Und diene Glichung waer ja auch reell dieselbe, wenn i etwa ne Konstante waere. Bleibt das Problem mit [mm] \wurzel{i}.
[/mm]
mit [mm] \wurzel{i}.*\wurzel{i}.=i [/mm] und dem Ansatz [mm] \wurzel{i}.=a+ib [/mm] kommst du auf :
[mm] a^{2}-b^{2}=0 [/mm] und 2ab=1 wird geloest durch [mm] a=b=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
(einfach [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] quadrieren und du siehst i!
Einfacher ist die Wurzel aus einer komplexen Zahl wenn du die Darstellung
[mm] z=r*e^{i*\phi} [/mm] kennst, dann ist [mm] \wurzel{z}=\wurzel{r}*e^{i*\phi/2}
[/mm]
dabei ist [mm] r=\wurzel{a^{2}+b^{2}}, tan(\phi)=\bruch{b}{a}
[/mm]
Wenn du die Wurzel erstzt hast, hast du immer noch einen Bruch mit komplexer Zahl im Nenner. Da man Ergebnisse immer in der Form a+ib sehen will musst du noch mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitern!
Dadurch wird der Nenner reell und du bist fertig.
Gruss leduart
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Mach doch da einfach weiter ...
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Am Ende die Probe nicht vergessen, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
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